테일러 정리에 대한 기초 이해

Understanding the Basics of Taylor’s Theorem

Ⅰ. 테일러 정리란?

테일러 정리에 대해 이해해보자. 테일러 정리는 컴퓨터로 수학을 계산하기 위해서 필수적이면 수치해석학과도 깊은 연관이 있다. 수치해석학에 대해서 공부하다보니 테일러 정리에 대한 이해가 필요해 테일러 정리 또한 공부하게 되었다.

테일러 전개(Taylor expansion)는 주어진 함수를 정의역의 특정 점의 미분계수들로 하는 다항식의 극한(멱급수)로 표현하는 것을 말한다. 다시 말하면, 테일러 급수는 여러 번 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: x=a]에서 그 [eqn: f(x)]에 접하는 멱급수로 표현하는 방법이다. 테일러 전개 후의 함수 꼴을 다항함수 꼴이 아니라 멱급수의 꼴이라고 지칭하는 이유는 테일러 전개에서의 차수가 무한하기 때문에 다항함수로 정의할 수 없어서이다.

Ⅱ. 테일러 정리와 테일러 전개의 관계

테일러 전개는 테일러 정리를 실현하는 방법인데, 테일러 정리란 보통 어느 구간에서 미분가능한 함수를 유한 테일러 다항식과 근접할수록 0에 가까워지는 오차항의 합으로 표현할 수 있다는 정리이다. 이때의 오차항은 차수가 5인 항을 말하는 것이 아니라 ‘오차(error)’를 의미하는 오차이다. 즉, 원함수와 근사한 함수의 ‘차이’를 나타내는 오차항이 0에 가까워지면 근사한 함수가 원함수와 (거의) 같아진다는 의미이다.

원리	구현 방법	결과물
테일러 정리	테일러 전개로 근사	오차항의 합

말이 어려우니 풀어서 정리해보자. 어떠한 미지의 미분가능한 함수 [eqn: g(x)]가 있다. 이 함수를 완벽히 계산할 수 있으면 좋겠지만 그러한 계산은 너무 복잡할 경우가 잦다. 또한 컴퓨터는 ‘기본적으로’ 덧셈과 곱셈(덧셈을 반복하여 계산한다)만을 연산할 수 있기 때문에 다항함수가 아닌 함수를 계산하기 위해서는 이를 덧셈과 곱셈으로 이루어진 다항함수의 꼴로 바꾸어 줄 필요가 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 사용되는 것이 테일러 전개이다.

테일러 전개의 이용 과정 (개요)
1	[eqn: g(x)]를 테일러 정리에 따라 조작하여 멱급수의 꼴로 나타낸다
	이 멱급수의 오차항을 최소로 한다.
2	근사된 멱급수를 필요에 따라 이용한다.

다만, 아래에서 소개할 테일러 정리를 따라 멱급수의 합으로 정리하더라도 오차항이 사라지지 않는 문제가 많은 함수들이 존재하는데, 대표적인 예시로 [eqn: f(x)= {cases{e ^{- {1} over {x}}&(x>0)#0&(x LEQ 0)}}]이 존재한다. 이 함수를 0에서 테일러 전개하면 항상 0이 나오는 현상이 발생하는데, 이러한 경우와 같이 테일러 급수가 그 급수를 만드는 데 사용된 함수와 같아지는 함수는 특별히 해석함수(analytic function)이라고 부른다.

Ⅲ. 테일러 정리의 증명

테일러 정리를 증명하는 방법은 크게 두 가지로 나뉜다. 하나는 적분을 통한 방법이고 다른 하나는 미분을 통한 방법이다. 변수의 개수가 늘어날 경우 증명이 복잡해지기 때문에 아래에서는 변수 하나만을 포함한 함수에 대해서만 증명하도록 하겠다. 기본적인 원리는 같으므로 변수 1개짜리나 n개짜리나 모두 성립한다.

적분법으로의 증명	미적분학 제 2정리, 부분적분
미분법으로의 증명	엡실론 델타 논법에 의한 부등식

이 글에서 나는 내가 할 수 있는 범위 내에서 ‘적분법으로의 증명’을 이용해 테일러 정리르 증명해보도록 하겠다. 이를 위해서는 아래 두 가지의 당연하고 쉬운 개념이 필요하다.

미적분학 제2정리	정적분을 부정적분의 차로 간단히 계산할 수 있다는 정리. 즉, [eqn: int _{a} ^{b} {f(t)dt=F(b)-F(a)}]
적분의 평균값 정리	[eqn: f(x)]가 [eqn: [a,b]]에서 연속이면 [eqn: f(c)=f _{평균} = {1} over {b-a} int _{a} ^{b} {f(x)dx` RARROW } ` int _{a} ^{b} {f(x)dx=(b-a)f(c)}]를 만족하는 [eqn: c]가 [eqn: [a,b]]에서 당연히 적어도 하나 존재한다는 정리이다.

이제 이를 바탕으로 본격적인 증명을 시작해보자.

어떠한 함수 [eqn: y=f(x)]가 있고, 이 함수가 무한 번 미분가능하다고 하자. 또한 미적분의 기본정리에 의해 [eqn: f(x)=f(a)+ int _{a} ^{x} {f'(t)dt}]가 성립한다. 부분적분을 시행하기 위해 곱해진 1을 적분하고, [eqn: f'(t)]를 미분한다. 이때, 적분변수가 [eqn: dt]이므로 [eqn: t]에 대해서 [eqn: x]는 상수 취급할 수 있다. 따라서 1을 [eqn: t]에 대해 적분한 형태가 [eqn: t+C]이다. [eqn: C=-x]라 두면 1의 부정적분을 [eqn: t-x]로 잡을 수 있다. 여기서 적분상수 [eqn: C]를 고려하지 않으면 나중에 심각한 문제가 발생하는 것을 발견할 수 있으니 주의하자.

1. [eqn: int _{a} ^{x} {f prime (t)dt=[(t-x)f prime (t)] _{a}^{x}} - int _{a} ^{x} {(t-x)f''(t)dt=f'(a)(x-a)- int _{a} ^{x} {(t-x)f''(t)dt}}]

2. [eqn: int _{a} ^{x} {(t-x)f''(t)dt- {(x-a) ^{2}} over {2}} f''(a)- int _{a} ^{x} {{(t-x) ^{2}} over {2} f'''(x)dt}]

3. [eqn: int _{a} ^{x} {{(t-x) ^{2}} over {2}} f'''(t)dt= {(x-a) ^{3}} over {6} f'''(a)- int _{a} ^{x} {{(x-a) ^{3}} over {6}} f''''(t)dt]

이를 무한한 차수에 대해 반복하면 ..

n. [eqn: int _{a} ^{x} {{(t-x) ^{n-1}} over {(n-1)!}} f ^{(n)} (t)dt=(-1) ^{n-1} {(x-a) ^{n}} over {n!} f ^{(n)} (a)- int _{a} ^{x} {{(t-x) ^{n}} over {n!}} `f ^{(n+1)} (t)dt]

이를 정리하면 다음과 같다.

[eqn: f(x)=f(a)+f prime (a)(x-a)+ {f '' (a)} over {2} (x-a) ^{2} + CDOTS + {f ^{(n)} (a)} over {n!} (x-a) ^{n} +(-1) ^{n} int _{a} ^{x} {{f ^{(n+1)} (t)} over {n!}} (t-x) ^{n} dt]

이를 시그마를 이용해 [eqn: n]계도함수 [eqn: f ^{(n)}]에 대해 간단히 정리하면 다음과 같다.

[eqn: f(x)= sum _{k=0} ^{n} {f ^{(k)} (a)} over {k!} (x-a) ^{k} +(-1) ^{n} int _{a} ^{x} {{f ^{(n+1)} (t)} over {n!}} (t-x) ^{n} dt]

여기서 앞에서 소개한 적분의 평균값 정리를 이용한다.

[eqn: (-1) ^{n} int _{a} ^{x} {{f ^{(n+1)} (t)} over {n!} (t-x) ^{n} dt= {f ^{(n+1)} ( zeta )} over {(n+1)!} (x-a) ^{n+1}}] (단, [eqn: zeta]는 [eqn: a]와 [eqn: x]사이의 어떤 실수)

이를 ‘라그랑주의 나머지’라 부르고, [eqn: n rarrow INF]일 때 ‘라그랑주의 나머지’가 0으로 수렴한다면 [eqn: f(x)]는 다음과 같이 표현된다.

[eqn: f(x)= lim _{k rarrow INF } {sum _{n=0} ^{k}} {f ^{(n)} (a)} over {n!} (x-a) ^{n}]

이때 [eqn: a=0]을 대입하면, [eqn: f(x)= lim _{k rarrow INF } {sum _{n=0} ^{k}} {f ^{(n)} (0)} over {n!} x ^{n}]가 유도되며, 이를 특별히 매클로린 급수라고 부른다. 매클로린 급수는 컴퓨터의 근사 알고리즘의 핵심이 된다. 따라서 우리가 프로그래밍을 하면서 가장 자주 보게 되는 테일러 급수의 형태는 매클로린 급수일 수 밖에 없다.

테일러 급수나 푸리에 급수(삼각함수의 선형 결합으로, 타 함수들에 비해 비교적 계산이 쉽다) 등 급수 전개는 미적분 계산이 어려운 해석함수를 계산이 쉬운 함수로 근사시킨다는 점에서 그 의미가 매우 크다. 테일러 급수와 비슷한 성격으로 푸리에 급수라는 것이 존재하는데, 테일러 급수는 멱급수로 근사하는 반면 푸리에 급수는 삼각함수로 근사한다는 점에서 차이가 있다.

이상으로 수치해석학에 대해 공부하기 전 밑작업으로서의 테일러 정리와 전개에 대한 이해를 마치도록 하겠다.