◦  먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

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수 리 영 역

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1998학년도 대학수학능력시험 문제지

제 2 교시           수 리 영 역

성명			수험번호						3

자연계

◦  문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦  답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦  단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦  계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

16

[eqn: LEFT { LEFT ( {4} over {9} RIGHT ) ^{- {2} over {3}} RIGHT }]의 값은?

정답 ④

[eqn: left{ left( 4 over 9 right)^{ - 2 over 3 } right}^{9 over 4}][eqn: = left{ left( 2 over 3 right)^{ - 4 over 3 } right}^{9 over 4}][eqn: = left( 2 over 3 right)^{{ - 4 over 3 }․{9 over 4}}]	[eqn: = left( 2 over 3 right)^-3][eqn: = left(3 over 2 right)^3]

[eqn: = 27 over 8]

[2점][1998년 수능]

①　[eqn: 8 over 27]	②　[eqn: 16 over 61]	③　[eqn: 81 over 16]

④　[eqn: 27 over 8]	⑤　[eqn: 64 over 81]

[eqn: SQRT { 4+2 SQRT { 3} } - SQRT { 4-2 SQRT { 3} }]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: sqrt {4+ 2sqrt 3} - sqrt {4-sqrt 3} ``][eqn: = (sqrt 3 +1) - (sqrt 3 -1)][eqn: =2]

[2점][1998년 수능]

①　[eqn: -2]	②　[eqn: - SQRT { 3}]	③　[eqn: 1]

④　[eqn: SQRT { 3}]	⑤　[eqn: 2]

다항식 [eqn: { 2x}^{3 } + { x}^{2 } + 3x]를 [eqn: { x}^{2 } +1]로 나눈 나머지는?

정답 ①

[eqn: 2x^3 + x^2 + 3x ``][eqn: = (x^2 +1 )(2x+1) + x-1]

따라서, 구하는 나머지는 [eqn: x-1]

[3점][1998년 수능]

①　[eqn: x-1]	②　[eqn: x]	③　[eqn: 1]

④　[eqn: x+3]	⑤　[eqn: 3x-1]

함수 [eqn: y=lnx over x]가 최대값을 가질 때의 [eqn: x]의 값은?

정답 ②

[eqn: y= {lnx} over {x}]에서 [eqn: y`' = {(lnx)' (x) - lnx (x)'} over x^2][eqn: = {1-lnx} over x^2]

도함수 [eqn: y= {1-lnx} over {x ^{2}} ,] [eqn: x>e]이면 [eqn: y` prime <0]

[eqn: 0<x<e]이면 [eqn: y` prime >0]이므로

함수 [eqn: y= {lnx} over {x}]는 [eqn: x=e]에서 극대이며 최대이다.

[2점][1998년 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: e]	③　[eqn: 1 over e]

④　[eqn: 2e]	⑤　[eqn: e^2]

두 복소수 [eqn: z sub1 =i,~z sub2 =1+i]에 대하여 다음 중 편각의 크기가 가장 큰 것은? (단, [eqn: i=sqrt-1]이고, 편각의 크기 [eqn: theta]의 범위는 [eqn: 0 LEQ theta <2 pi]로 한다.)

정답 ③

① [eqn: 4 z_1 ``][eqn: = 4 i = 4 (cos90^circ + i`` sin 90^circ )]

② [eqn: z_1 + z_2 = i + 1+ i ``][eqn: = 1+ 2i ``]

[eqn: = sqrt 5 left( 1 over sqrt 5 + 2 over sqrt 5 ` i `` right)]

[eqn: = sqrt {5} (cos theta +i``sin theta )]

여기서 [eqn: tan theta =2]이므로

[eqn: 0 ^{CIRC } <편각<90 ^{CIRC }]

③ [eqn: z_1 - z_2 = i - (1+i `)][eqn: = -1]

[eqn: = cos180^circ + i`` sin180^circ]

[eqn: THEREFORE ```(편각)=180 ^{CIRC }]

④ [eqn: z_1 ` z_2][eqn: = i ` (i+1 )][eqn: = -1+i `]

[eqn: = sqrt 2 ``(cos135^circ + i` sin135^circ )]

[eqn: ∴(편각)=135^circ]

⑤ [eqn: z_1 over z_2][eqn: = i over 1+i][eqn: ={ i ``(1-i``)} over 2][eqn: = i+1 over 2]

[eqn: = sqrt 2 over 2 (cos45^circ + i ` sin45^circ )]

[eqn: ∴(편각)=45^circ]

따라서 편각이 가장 큰 것은 [eqn: z_1 - z_2 ``]

[2점][1998년 수능]

①　[eqn: 4z_1]	②　[eqn: z_1 +z_2]	③　[eqn: z_1 - z_2]

④　[eqn: z_1 z_2]	⑤　[eqn: z_1 over z_2]

좌표평면에서, 다음 함수 중 그 그래프가 임의의 직선과 항상 만나는 것은?

정답 ④

①

②

③

④

⑤

④번 그림 [eqn: y=x ^{3}]과 임의의 직선과는 적어도 한 점에서

만난다.

[3점][1998년 수능]

①　[eqn: y= vert x vert]	②　[eqn: y= { x}^{2 }]	③　[eqn: y= SQRT { x}]

④　[eqn: y= { x}^{3 }]	⑤　[eqn: y= 1 over x]

이차방정식 [eqn: x^2 -mx+2m+1=0]의 한 근이 [eqn: 1]일 때 다른 한 근은? (단, [eqn: m]은 상수)

정답 ⑤

[eqn: x^2 - m `x + 2m +1=0]에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 1-m+2m+1=0]

[eqn: THEREFORE ```m=-2]

[eqn: x ^{2} +2x-3=0] [eqn: RARROW ```(x+1)(x-1)=0]

[eqn: THEREFORE ```x=-3,```1]

따라서 서로 다른 근은 [eqn: -3]

[2점][1998년 수능]

①　[eqn: 3]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: -1]	⑤　[eqn: -3]

다음은 어떤 정육면체의 전개도이다.

원래의 정육면체에서 [eqn: rm vec AB]의 크기는?

정답 ②

정육면체의 꼭지점

[eqn: A,```B,```C,] [eqn: D,```E,```F]는

오른쪽 그림과 같으므로

벡터 [eqn: vecAB ``]와 같은 것은 [eqn: vecDC``]이다.

[3점][1998년 수능]

① [eqn: rm vec CD]	② [eqn: rm vec DC]	③ [eqn: rm vec ED]

④ [eqn: rm vec DE]	⑤ [eqn: rm vec FD]

쌍곡선 [eqn: x sup2 over 9 - y sup2 over 16 =1] 위의 점 [eqn: (a,```b)]에서의 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는? (단, [eqn: a>0,~b>0)]

정답 ③

[eqn: P`(a,```b)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: ax over 9 - by over 16 =1]

접선은 [eqn: A LEFT ( {9} over {a} ,```0 RIGHT ) ,```B LEFT ( 0,```- {16} over {b} RIGHT )]을 지나므로

[eqn: △OAB]의 넓이 [eqn: S = 1 over 2 × 9 over a × 16 over b][eqn: = 72 over ab `]

[3점][1998년 수능]

①　[eqn: 36 over ab]	②　[eqn: 54 over ab]	③　[eqn: 72 over ab]

④　[eqn: 90 over ab]	⑤　[eqn: 108 over ab]

실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수를 [eqn: left[x right]]라 할 때, 다음 중 방정식 [eqn: [x]sup2 +[x]-2=0]과 같은 해를 갖는 부등식은?

정답 ④

[eqn: [x`]^2 + [x]-2=0] [eqn: ~Lrarrow~([x]+2)([x]-1)=0]

[eqn: LRARROW ```[x]=-2,```[x]=1]

[eqn: ` LRARROW `-2 LEQ x PREC -1,```1 LEQ x<2]

[eqn: LRARROW ```-2 LEQ x LEQ -1,```1 LEQ x LEQ 2] (단, [eqn: x != -1,```2])

[eqn: ` LRARROW ~(x+2)(x+1)(x-1)(x-2) LEQ 0] (단, [eqn: x != -1,```2])

[eqn: LRARROW ``` {(x-1)(x+2)} over {(x+1)(x-2)} LEQ 0]

[3점][1998년 수능]

①　[eqn: {(x+2)(x-2)} over {(x+1)(x-1)} LEQ 0]	②　[eqn: {(x+1)(x+2)} over {(x-1)(x-2)} LEQ 0]
③　[eqn: {1} over {(x+1)(x-1)} LEQ 0]	④　[eqn: {(x-1)(x+2)} over {(x+1)(x-2)} LEQ 0]
⑤　[eqn: {(x-2)(x-3)} over {(x+2)(x+3)} LEQ 0]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지 숫자가 쓰여진 표적이 있다. [eqn: 5]명의 사격선수 [eqn: rmA,```B,```C,```D,```E]가 [eqn: 10]발씩 사격하여 맞춘 [eqn: 10]개의 수의 평균이 모두 [eqn: 5]가 되었다. [eqn: 5]명이 사격한 결과는 다음과 같다.

[eqn: 5]명 중 맞춘 [eqn: 10]개 수의 표준편차가 가장 작은 사람은?

정답 ②

[eqn: 5]명의 사격 결과는 다음과 같다.

[eqn: A```:```2,```2,```3,```4,```5,```5,```6,```7,```8,```9]

[eqn: B```:```2,```3,```4,```4,```5,```5,```6,```6,```7,```8]

[eqn: C```:```1,```1,```2,```4,```5,```5,```6,```8,```9,```9]

[eqn: D```:```1,```2,```3,```4,```5,```5,```6,```7,```8,```9]

[eqn: E```:```1,```2,```2,```4,```5,```5,```6,```8,```8,```9]

분산 [eqn: σ^2 = sum_i=1 ^n {(x_i - m )} over n][eqn: = sum_i=1 ^n {(x_i - 5 )} over 10]

즉, 표준편차가 가장 작은 사람은 [eqn: B``]이다.

[2점][1998년 수능]

①　[eqn: rmA]	②　[eqn: rmB]	③　[eqn: rmC]

④　[eqn: rmD]	⑤　[eqn: rmE]

[eqn: LEFT ( {1+i} over {1-i} RIGHT ) ^{1998}]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt-1]이다.)

정답 ①

[eqn: 1+i over 1-i][eqn: = {(1+i`)^2 } over {(1-i`)(1+i`)}] [eqn: = {1+2i + (i)^2 } over 2][eqn: = i ``]

[eqn: left(1+i over 1-i right)^1998 ``][eqn: = (i)^1998][eqn: (i^4 )^499 ` i^2][eqn: =-1]

[2점][1998년 수능]

①　[eqn: -1]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: -i]

④　[eqn: i]	⑤　[eqn: 1998]

다음 그림은 [eqn: 0 LEQ x LEQ 4]에서 정의된 함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프이다. 정적분[eqn: INT _{0}^{1} f``(2x+1)dx]의 값은?

정답 ④

[eqn: 2x+1=t ``]로 놓으면

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t =1], [eqn: x=1]일 때 [eqn: t =3]

[eqn: 2 dx = dt ``], [eqn: dx = 1 over 2 dt ``]

[eqn: int_0^1 f``(2x+1) `dx``][eqn: = int_1^3 f``(t) `. 1 over 2 dt``][eqn: = 1 over 2 int_1^3 f``(t) ` dt``]

[eqn: = 1 over 2 left( int_1^2 f``(t) ` dt`+ int_2^3 f``(t) ` dt`` right)][eqn: = 1 over 2 left( int_1^2 (2t-1) ` dt`+ int_2^3 3 ` dt`` right)]

[eqn: = 1 over 2 left( left[ t^2 -t ` right]_1^2 + [3t]_2^3 ``right)][eqn: = 1 over 2 (2+3)][eqn: = 5 over 2]

[2점][1998년 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 3 over 2]	③　[eqn: 2]

④　[eqn: 5 over 2]	⑤　[eqn: 3]

다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?
(단, 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률은 같다.)

정답 ④

ㄱ. 동전을 [eqn: 10]회 던질 때, 앞면이 [eqn: k``]회 나타날 확률을 [eqn: P_k ``]라 하면

[eqn: P_4 = _10 C _4 left( 1 over 2 right)^4 left( 1 over 2 right)^6][eqn: = _10 C _4 left( 1 over 2 right)^10]

[eqn: P_6 = _10 C _4 left( 1 over 2 right)^6 left( 1 over 2 right)^4][eqn: = _10 C _4 left( 1 over 2 right)^10]

그런데 [eqn: `_10 C_4 = _10 C _6]이므로 [eqn: P_4 = P_6 ``]  <참>

ㄴ. [eqn: P_5 = _10 C _5 left( 1 over 2 right)^5 left( 1 over 2 right)^5][eqn: = _10 C _5 left( 1 over 2 right)^10]

동전을 [eqn: 20]회 던질 때, 앞면이 [eqn: 10]회 나타날 확률을 [eqn: Q _{10}]이라 하면

[eqn: Q _{10} = _{20} C _{10} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}][eqn: = _20 C _10 left( 1 over 2 right)^20 ``]

[eqn: ∴P_5 != Q_10 ``]  <거짓>

ㄷ. [eqn: P_0 + P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 ``]

[eqn: = _10 C _0 left( 1 over 2 right)^10 + _10 C _1 left( 1 over 2 right)^10 + _10 C _2 left( 1 over 2 right)^10 + _10 C _3 left( 1 over 2 right)^10][eqn: + _10 C _4 left( 1 over 2 right)^10 + _10 C _5 left( 1 over 2 right)^10]

[eqn: =(1+10+45+120+210+252) LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}][eqn: = 638 over 1024][eqn: >0.5]

<참>

[2점][1998년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 동전을 [eqn: 10]회 던질 때 앞면이 [eqn: 4]회 나타날 확률과 앞면이 [eqn: 6]회 나타날 확률은 같다. ㄴ. 동전을 [eqn: 10]회 던질 때 앞면이 [eqn: 5]회 나타날 확률과 [eqn: 20]회 던질 때 앞면이 [eqn: 10]회 나타날 확률은 같다. ㄷ. 동전을 [eqn: 10]회 던질 때 앞면이 나타날 횟수가 [eqn: 5]회 이하일 확률은 [eqn: 0.5]보다 크다.

①　ㄱ	②　ㄷ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT { a sub n RIGHT }]은 처음 [eqn: 6]개 항 [eqn: a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3} ,```a _{4} ,```a _{5} ,```a _{6}]이 서로 다르고, [eqn: a _{n+6} =a _{n} ```(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]을 만족시킨다. 다음과 같이 정의된 수열 [eqn: left{b subn right}] 중 [eqn: a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3} ,```a _{4} ,```a _{5} ,```a _{6}]의 값이 모두 나타나는 것은?

정답 ④

수열 [eqn: left{ a_n ` right}]은 [eqn: a _{n+6} =a _{n} ```(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]에서

주기가 [eqn: 6]인 수열을 이룬다.

① [eqn: b_n = a_2n+1 ``]

[eqn: LEFT { b _{n} ` RIGHT } ``:`` & ``a _{3} , & ```a _{5} , & ```a _{7} , & ```a _{9} , & ```a _{11} , & ```a _{13} ,``` CDOTS # ` & ``□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□# & ``a _{3} , & ```a _{5} , & ```a _{1} , & ```a _{3} , & ```a _{5} , & ```a _{1} ,``` CDOTS]

② [eqn: b_n = a_3n+1 ``]

[eqn: LEFT { b _{n} ` RIGHT } ``:`` & ```a _{4} , & ```a _{7} , & ```a _{10} , & ```a _{13} , & ```a _{16} , & ```a _{19} ,``` CDOTS # & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□# & ```a _{4} , & ```a _{1} , & ```a _{4} , & ```a _{1} , & ```a _{4} , & ```a _{1} ,``` CDOTS]

③ [eqn: b_n = a_4n+1 ``]

[eqn: LEFT { b _{n} ` RIGHT } ``:`` & ```a _{5} , & ```a _{9} , & ```a _{13} , & ```a _{17} , & ```a _{21} , & ```a _{25} ,``` CDOTS # & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□# & ```a _{5} , & ```a _{3} , & ```a _{1} , & ```a _{5} , & ```a _{3} , & ```a _{1} ,``` CDOTS]

④ [eqn: b_n = a_5n+1 ``]

[eqn: LEFT { b _{n} ` RIGHT } ``:`` & ```a _{6} , & ```a _{11} , & ```a _{16} , & ```a _{21} , & ```a _{26} , & ```a _{31} ,``` CDOTS # & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□# & ```a _{6} , & ```a _{5} , & ```a _{4} , & ```a _{3} , & ```a _{2} , & ```a _{1} ,``` CDOTS]

⑤ [eqn: b_n = a_6n+1 ``]

[eqn: LEFT { b _{n} ` RIGHT } ``:`` & ```a _{7} , & ```a _{13} , & ```a _{19} , & ```a _{25} , & ```a _{31} , & ```a _{37} ,``` CDOTS # & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□ & ```□# & ```a _{1} , & ```a _{1} , & ```a _{1} , & ```a _{1} , & ```a _{1} , & ```a _{1} ,``` CDOTS]

수열 [eqn: left{ b_n ` right}]중 [eqn: n]의 값이 모두 나타나는 것은 ④이다.

<참고>에서 [eqn: a_5n+1]의 계수 [eqn: 5]는 [eqn: 6]과 서로소이다.

[3점][1998년 수능]

①　[eqn: b subn = a sub2n+1]	②　[eqn: b subn= a sub 3n+1]
③　[eqn: b subn = a sub4n+1]	④　[eqn: b subn = a sub5n+1]
⑤　[eqn: b subn = a sub6n+1]

임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여, [eqn: n]의 양의 약수들의 총합을 [eqn: f`(n)]이라 하자. 예를 들면, [eqn: f`(3)=4], [eqn: f`(4)=7]이다. 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ③

Ⅰ. [eqn: 10]의 약수 : [eqn: 1,```2,```5,```10]

[eqn: f``(10) = 1+2 +5 +10 =18] <참>

Ⅱ. [eqn: f``(n) = n+1]이면 [eqn: n``]의 약수가 [eqn: 1,```n]뿐이므로

[eqn: n``]은 소수이다. <참>

Ⅲ. <반례>

[eqn: m= n =3]일 때,

[eqn: f`(3)=4,```f`(9)=1+3+9=13]

[eqn: THEREFORE ```f`(9) != f`(3)f`(3)]  <거짓>

[2점][1998년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: f`(10)=18] ㄴ. [eqn: f`(n)=n+1]이면 [eqn: n]은 소수이다. ㄷ. 임의의 자연수 [eqn: m,```n]에 대하여 [eqn: f`(mn)=f`(m)f`(n)]이다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 명제 ‘[eqn: 3m sup2 -n sup2 =1]을 만족하는 [eqn: BOX{~~㈎~~}]’에 대한 증명에서 중간 부분을 적은 것이다.

	[ 증 명 ]
…(생략)… [eqn: m,```n]이 정수이고, [eqn: 3m ^{2} =n ^{2} +1]이므로 [eqn: n sup2 +1]은 [eqn: 3]의 배수이다. 한편, 정수 [eqn: n]이 어떤 정수 [eqn: k]에 대하여, [eqn: n=3k]이면 [eqn: n sup2 =(3k) sup2 =9k sup2 =3(3k sup2 ),] [eqn: n=3k+1]이면 [eqn: n sup2 =(3k+1)sup2 =9k sup2 +6k+1=3(3k sup2 +2k) +1,] [eqn: n=3k+2]이면 [eqn: n ^{2} =(3k+2) ^{2} =9k ^{2} +12k+4] [eqn: =3(3k ^{2} +4k+1)~+1]이므로 [eqn: n sup2]을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지는 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이다. 따라서 [eqn: n sup2 +1]을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이다. …(생략)…

다음 중 위의 [eqn: BOX{~~㈎~~}]에 가장 알맞은 것은?

정답 ⑤

[eqn: 3m^2 - n^2 =1]을 만족하는 [eqn: m,```n]이 정수인 해는 없다.

<증명>귀류법을 쓰면 [eqn: m,```n]이 정수이고

[eqn: 3m^2 = n^2 +1]이므로 [eqn: n^2 +1]은 [eqn: 3]의 배수이다.[eqn: CDOTS CDOTS ```①]

한편, 정수 [eqn: n``]이 어떤 정수 [eqn: k``]에 대하여

[eqn: n= 3k ``]이면 [eqn: n^2 = (3k)^2 = 9 k^2 = 3(3k^2 `)]

[eqn: n= 3k+1]이면

[eqn: n^2 = (3k+1 )^2][eqn: = 9 k^2 + 6k +1][eqn: = 3(3k^2 + 2k `)+1]

[eqn: n= 3k+2]이면

[eqn: n^2 = (3k+2 )^2 ``][eqn: = 9 k^2 + 12k +4][eqn: = 3(3k^2 + 4k +1 `)+1]

이므로 [eqn: n^2 ``]을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지는 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이다.

따라서, [eqn: n^2 +1]을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이다.

[eqn: CDOTS CDOTS ```②]

그러므로 ①, ②에 의하여 모순이다.

따라서, [eqn: 3m^2 - n^2 = 1]을 만족하는 [eqn: m,```n]이 모두 정수인

해는 없다.

[2점][1998년 수능]

①　[eqn: m,```n] 중 적어도 하나는 정수이다.

②　[eqn: m,```n] 중 어느 것도 정수가 아니다.

③　[eqn: m,```n]이 모두 정수인 해가 적어도 하나 있다.

④　[eqn: m,```n]이 모두 정수인 해가 오직 하나 있다.

⑤　[eqn: m,```n]이 모두 정수인 해는 없다.

다음은 명제 ‘좌표평면에서 세 꼭지점의 좌표가 모두 유리수인 정삼각형이 존재하지 않는다.’를 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
세 꼭지점의 좌표가 모두 [eqn: BOX{~~㈎~~}]인 정삼각형이 존재한다고 가정하자. 이 삼각형을 평행이동하여 오른쪽 그림과 같이 한 꼭지점이 좌표평면의 원점 [eqn: rmO]에 놓이도록 했을 때, 다른 꼭지점을 각각 [eqn: rmA(ita,```b)], [eqn: rmB(itc,```d)]라 하면, [eqn: a,```b,```c,```d]는 모두 [eqn: BOX{~~㈏~~}]가 된다. 그런데 [eqn: rmB]는 [eqn: rmA]를 원점을 중심으로 [eqn: 60°]만큼 회전이동한 점이므로 [eqn: c= {1} over {2} a- {sqrt {3}} over {2} b], [eqn: d= {sqrt {3}} over {2} a+ {1} over {2} b]이다. 여기서 [eqn: b != 0]이면 [eqn: c]가 [eqn: BOX{~~㈐~~}]가 되고, [eqn: b=0]이면 [eqn: a!=0]이므로 [eqn: d]가 [eqn: BOX{~~㈐~~}]가 된다. 이는 가정에 모순이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

정답 ①

ⅰ) [eqn: [~ ㈎~]=]유리수

ⅱ) 세 꼭지점의 좌표가 모두 유리수일 때 한 꼭지점이

원점에 오도록 평행이동하면 다음 꼭지점의 좌표도

모두 유리수가 된다.

[eqn: ∴[~ ㈏~]=]유리수

ⅲ) 점 [eqn: B(c,```d)]는 점 [eqn: A(a,```b)]를 원점을 중심으로

[eqn: 60^circ]만큼 회전이동한 점이므로

[eqn: pmatrix{c#d}][eqn: {pmatrix{c#d}} = {pmatrix{cos60 DEG &&-sin60 DEG #sin60 DEG &&cos60 DEG }} {pmatrix{a#b}}][eqn: = {1} over {2} {pmatrix{1&&- sqrt {3}#sqrt {3}&&1}} {pmatrix{a#b}}]

[eqn: = {1} over {2} {pmatrix{a- sqrt {3} b#sqrt {3} a+b}}]

[eqn: THEREFORE ```c= {1} over {2} a- {sqrt {3}} over {2} b,```d= {sqrt {3}} over {2} a+ {1} over {2} b]

[eqn: c = 1 over 2 a - sqrt 3 over 2 b ``]에서

[eqn: b=0]일 때 [eqn: a``]가 유리수이므로 [eqn: c``]는 유리수가 되고,

[eqn: b!=0]일 때 [eqn: sqrt 3 over 2 b ``]는 무리수이고 [eqn: 1 over 2 a``]는 유리수이므로

[eqn: c``]는 무리수가 된다.

[eqn: d = sqrt 3 over 2 a + 1 over 2 b ``]에서

[eqn: b=0]이면 [eqn: d = sqrt 3 over 2 a ``]이고 [eqn: a``]는 [eqn: 0]이 아닌 유리수이므로

[eqn: d``]는 무리수가 된다.

[eqn: THEREFORE ```[~㈐~]=]무리수

[3점][1998년 수능]

①　유리수,  유리수,  무리수

②　무리수,  유리수,  무리수

③　유리수,  무리수,  유리수

④　유리수,  유리수,  유리수

⑤　무리수,  유리수,  유리수

그림과 같이 두 직선 [eqn: x=p,~x=q``와~x]축 및 곡선 [eqn: y=log_a x]로 둘러싸인 부분을 곡선 [eqn: y=log_b x]가 두 부분 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]로 나눈다. [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]의 넓이를 각각 [eqn: alpha ,``` beta]라 할 때, [eqn: {alpha } over {beta }]의 값은?
(단, [eqn: 1<a<b,```1<p<q)]

정답 ③

[eqn: beta = int _{p} ^{q} {} log _{b} `x`dx``][eqn: = {1} over {lnb} int _{p} ^{q} {} lnx`dx``][eqn: = 1 over lnb [x`lnx -x `]_p^q `]

[eqn: = {1} over {lnb} (q`lnq-q-p`lnp+p`)]

[eqn: alpha = int _{p} ^{q} {} log _{a} `x``dx``- beta][eqn: = 1 over lnb int_p^q lnx `dx `` β]

[eqn: = 1 over lnb [x`lnx -x `]_p^q `-β]

[eqn: = 1 over lna (q lnq -q-p lnp+p `)][eqn: - 1 over lnb (q lnq -q-p lnp+p `)]

[eqn: =left( 1 over lna - 1 over lnb right) (q lnq -q-p lnp+p `)][eqn: THEREFORE ``` {alpha } over {beta } = {LEFT ( {1} over {lna} - {1} over {lnb} RIGHT )} over {{1} over {lnb}}][eqn: = lnb over lna - 1][eqn: = log_a` b -1]

[3점][1998년 수능]

①　[eqn: LEFT ( {b} over {a} -1 RIGHT ) (q-p)]	②　[eqn: a overb -1]	③　[eqn: log_a b-1]

④　[eqn: log_b a-1]	⑤　[eqn: (q-p)`log _{b} a]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이
[eqn: a _{1} =1,```a _{2} =2,```a _{n+2} =a _{n+1} +a _{n} ```(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]
을 만족시킨다. 무한급수[eqn: SUM from { { n}=1} to inf {a_n}over{a_n+1 a_n+2}]의 합은?

정답 ①

[eqn: a _{n+2} =a _{n+1} +a _{n} ``] [eqn: ~Rarrow~a_n = a_n+2 - a_n+1 ``]에서

[eqn: a_n over {a_n+1 a_n+2 }][eqn: = {a_n+2 - a_n+1 } over {a_n+1 a_n+2 }][eqn: = 1 over a_n+1 - 1 over a_n+2]이므로

[eqn: sum_n=1^n a_k over {a_k+1 `a_k+2 }][eqn: = sum_k=1 ^n left( 1 over a_k+1 - 1 over a_k+2 right)]

[eqn: = LEFT ( {1} over {a _{2}} - {1} over {a _{3}} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {a _{3}} - {1} over {a _{4}} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {a _{4}} - {1} over {a _{5}} RIGHT ) + CDOTS]

[eqn: + left( 1 over a_n+1 - 1 over a_n+2 right)]

[eqn: = 1 over a_2 - 1 over a_n+2][eqn: = 1 over 2 - 1 over a_n+2]

수열 [eqn: left{ a_n ` right}]은 [eqn: a _{n+2} =a _{n+1} +a _{n}]을 만족하므로

증가하는 수열이고

따라서 [eqn: lim_n->inf 1 over a_n =0]이다.

[eqn: sum_n=1^inf a_n over {a_n+1 `a_n+2 }= 1 over 2]

[3점][1998년 수능]

①　[eqn: 1 over 2]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: 3 over 2]

④　[eqn: 2]	⑤　[eqn: 3]

다음은 인공적인 핵분열을 가상적으로 모형화시킨 것이다.

모든 불안정한 원자핵은 두 개의 핵으로 분열하고, 이 때 생긴 핵은 안정할 수도 있고 불안정할 수도 있다. 불안정한 핵은 다시 두 개의 핵으로 분열하고, 이 과정은 안정한 핵들만 남을 때까지 계속된다. 또한 불안정한 핵이 분열할 때마다 [eqn: 100rmMeV]의 에너지가 생성된다.

어떤 불안정한 원자핵 하나가 위와 같은 핵분열을 거듭한 결과 [eqn: 8]개의 안정한 핵들만 남았다면, 이 핵분열 과정에서 생성되는 총 에너지는 몇 [eqn: rmMeV]인가?

정답 ②

위의 경우와 같이 [eqn: 8]개의 안정한 핵이 남기 위해서는

불안정한 핵이 [eqn: 7]번의 분열을 해야 하므로

핵분열과정에서 생성되는 총 에너지는

[eqn: 7× 100 rmMeV `= 700 rm MeV ``]

[3점][1998년 수능]

①　[eqn: 800]	②　[eqn: 700]	③　[eqn: 600]

④　[eqn: 500]	⑤　[eqn: 400]

수질오염의 정도를 수치로 나타내는 한 방법으로 생물학적 지표가 사용된다. 이 지표는 유색생물의 수가 X, 무색생물의 수가 Y일 때, [eqn: rm {Y}over{X+Y} TIMES 100(%)]로 정의된다. 지난 달 수질검사에서 어떤 호수의 생물학적 지표는 [eqn: 10(%)]이었다. 이번 달에 이 호수의 수질을 검사한 결과, 지난달에 비해 유색생물의 수는 [eqn: 2]배, 무색생물의 수는 [eqn: 3]배가 되었다. 이번 달 이 호수의 생물학적 지표는 몇 퍼센트[eqn: (%)]인가?

정답 ①

지난 달의 유색 생물의 수를 [eqn: X``,] 무색 생물의 수는

[eqn: Y``]라 하면 [eqn: Y over X+Y × 100 = 10]

따라서, [eqn: Y over X+Y = 1 over 10]에서 [eqn: X = 9Y ``]

한편, 이달의 유색 생물의 수는 [eqn: 2X ``,] 무색 생물의 수는

[eqn: 3Y ``]이므로

이번 달의 생물학적 지표는

[eqn: 3Y over 2X+3Y ×100][eqn: = 3Y over {2․9Y + 3Y } ×100][eqn: = 1 over 7 × 100][eqn: ≒14.3%]

[3점][1998년 수능]

①　약 [eqn: 14.3%]	②　약 [eqn: 15.2%]	③　약 [eqn: 16.4%]

④　약 [eqn: 17.1%]	⑤　약 [eqn: 18.5%]

정부가 통일 이후 필요한 통일비용을 마련하기 위해 예산의 일부를 [eqn: 2001]년부터 매년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일 적립한다고 하자. 적립할 금액은 경제성장률을 감안하여 매년 전년도보다 [eqn: 6%]씩 증액한다. [eqn: 2001]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일부터 [eqn: 10]조 원을 적립하기 시작한다면, [eqn: 2010]년 [eqn: 12]월 [eqn: 31]일까지 적립된 금액의 원리합계는 몇 조원인가? (단, 연이율 [eqn: 6%], [eqn: 1]년마다의 복리로 계산하고, [eqn: (1.06)^10]은 [eqn: 1.8]로 계산한다.)

정답 ③

적립된 금액의 원리합계는

[eqn: 10조 × (1.06)^10 + left{ 10조 ×(1.06)^1 right} ×(1.06)^9]

[eqn: + LEFT { 10조 TIMES (1.06) ^{2} RIGHT } TIMES (1.06) ^{8} + CDOTS]

[eqn: + LEFT { 10조 TIMES (1.06) ^{10} RIGHT } TIMES (1.06) ^{1}]

[eqn: = left{ 10조 ×(1.06)^10 right} ×10]

[eqn: = 10조 ×1.8×10 =180조(원)]

[4점][1998년 수능]

①　[eqn: 160]	②　[eqn: 162]	③　[eqn: 180]

④　[eqn: 198]	⑤　[eqn: 220]

반지름의 길이가 [eqn: 2rmkm]인 원형의 자동차 시험장에 서 초속 [eqn: 20rmm]의 일정한 속력으로 자동차가 달리고 있다. 원의 중심 [eqn: rmO]에서 [eqn: 1rmkm] 떨어진 지점 [eqn: rmA]에 속력 측정기가 놓여 있어, 자동차의 속도 중 자동차의 위치 [eqn: rmP]로부터 [eqn: rmA]방향으로의 성분을 측정하고 있다. 이 때, [eqn: rm ANGLE APO= theta]이면 이 성분의 크기는 [eqn: 20`sin theta `(rmm/초)]이다. 이 자동차가 한 바퀴 도는 동안 속력 측정기가 기록하는 최대값은 몇 [eqn: rmm/초]인가?

정답 ②

[eqn: △APO``]에서 사인법칙을 쓰면

[eqn: {2} over {sinA} = {1} over {sin theta }]  [eqn: THEREFORE ```sin theta = {sinA} over {2}]

따라서, [eqn: sinA =1]일 때 [eqn: sin theta]는 최대값 [eqn: 1 over 2]을 가진다.

그러므로 최대값[eqn: = 20 ․ 1 over 2 =10]

[별해]

[eqn: barAP = x (km`)]라 하면 [eqn: △AOP``]에서

[eqn: cos theta = {2 ^{2} +x ^{2} -1 ^{2}} over {2․2x`}][eqn: = {x} over {4} + {3} over {4x}][eqn: GEQ 2 sqrt {{x} over {4} ․ {3} over {4x}}][eqn: = sqrt 3 over 2]

[eqn: theta]가 예각이므로 [eqn: theta <= {pi } over {6}]

[eqn: THEREFORE ```20sin theta <= 20sin {pi } over {6} =10]

따라서, 구하는 최대값은 [eqn: 10 (m/s`)]

[3점][1998년 수능]

①　[eqn: 8]	②　[eqn: 10]	③　[eqn: 10 root 2]

④　[eqn: 10 root 3]	⑤　[eqn: 20]

주관식 문항(25～30)

행렬 [eqn: A= {pmatrix{0&&1#2&&3}}]에 대하여 [eqn: A^2]의 모든 성분의 합을 구하시오.

정답 [eqn: 22]

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{0&&1#2&&3}} {pmatrix{0&&1#2&&3}} = {pmatrix{2&&3#6&&11}}]

[eqn: THEREFORE ```2+3+6+11=22]

[2점][1998년 수능]

△ABC에서 [eqn: b=8], [eqn: c=7], [eqn: rm ANGLE A=120 DEG]일 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 13]

[eqn: △ABC``]에서 제이코사인 법칙에 따라

[eqn: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA ``][eqn: = 8^2 + 7^2 - 2×8×7 × cos120^circ]

[eqn: = 64 + 49 - 2× 56 ×left( - 1 over 2 right)]	[eqn: = 169]

[eqn: THEREFORE ```a=13]

[3점][1998년 수능]

구 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 =1] 위의 점 [eqn: ( {4} over {5} ,``` {3} over {5} ,```0)]에서 구에 접하는 평면을 [eqn: alpha], 점 [eqn: (0,``` {3} over {5} ,``` {4} over {5} )]에서 구에 접하는 평면을 [eqn: beta]라 한다.  평면 [eqn: alpha] 위에 있는, 넓이가 [eqn: 100]인 삼각형을 평면 [eqn: beta] 위로 정사영시켜 얻은 도형의 넓이를 구하시오.

정답 [eqn: 36]

구 [eqn: x^2 + y^2 + z^2 =1] 위의 점 [eqn: LEFT ( {4} over {5} ,``` {3} over {5} ,```0 RIGHT )]에서

구에 접하는 평면 [eqn: alpha]의 방정식은 [eqn: 4 over 5 x + 3 over 5 y = 1]

[eqn: THEREFORE ```4x+3y=5]

점 [eqn: LEFT ( 0,``` {3} over {5} ,``` {4} over {5} RIGHT )]에서 구에 접하는 평면의 방정식은

[eqn: 3 over 5 y + 4 over 5 z =1]   [eqn: THEREFORE ```3y+4z=5]

평면 [eqn: alpha ,``` beta]의 법선벡터를 각각 [eqn: vec{a} ,``` vec{b}]라 하면

[eqn: vec{a} =(4,```3,```0),``` vec{b} =(0,```3,```4)]

평면 [eqn: alpha]와 평면 [eqn: beta]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면

[eqn: cos theta = {vec{a} ․ vec{b}} over {| vec{a} `|`| vec{b} ``|}][eqn: = {4․0+3․3+0․4} over {sqrt {4 ^{2} +3 ^{2}} `` sqrt {3 ^{2} +4 ^{2} `}}][eqn: = 9 over 5×5][eqn: = 9 over 25]

[eqn: S`` prime =S․cos theta]에서 [eqn: S=100,```cos theta {9} over {25}]이므로

[eqn: S``' = 100× 9 over 25][eqn: = 36]

따라서, 구하는 정사영의 넓이는 [eqn: 36]이다.

[3점][1998년 수능]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 4]개의 섬이 있다. [eqn: 3]개의 다리를 건설하여 [eqn: 4]개의 섬 모두를 연결하는 방법의 수를 구하시오.

정답 [eqn: 16]

ⅰ) 한 섬에 다리를 [eqn: 1]개 또는 [eqn: 2]개를 건설하는 경우는

[eqn: A→B→C→D``,]

[eqn: A→C→D→B``,]

[eqn: CDOTS]

[eqn: D→C→B→A``,]

[eqn: B→D→C→A``,] [eqn: CDOTS]

[eqn: 4×3×2×1 = 24(가지)]

[eqn: A→B→C→D``]와 [eqn: D→C→B→A``,]

[eqn: A→C→D→B``]와 [eqn: B→D→C→A``]와 같은 것이

[eqn: 2]가지씩 있으므로 [eqn: 24 over 2 =12 (가지)]

ⅱ) 아래의 그림과 같이 한 섬에 세 개의 다리를 건설

하는 경우는 [eqn: 4]가지이다.

[eqn: THEREFORE ```12+4=16(가지)]

[3점][1998년 수능]

다음 그림은 함수 [eqn: y=1]과 함수 [eqn: y=0]의 그래프의 일부이다. 두 점 [eqn: rmA(0,```1)], [eqn: rmB(1,```0)] 사이를 [eqn: 0≦x≦1]에서 정의된 함수 [eqn: y=a { x}^{3 } + b { x}^{2 } + c { x} + 1]의 그래프를 이용하여 연결하였다. 이렇게 연결된 그래프 전체를 나타내는 함수가 구간 [eqn: LEFT ( - INF ,``` INF RIGHT )]에서 미분가능하도록 상수 [eqn: a,```b,```c]의 값을 정할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 13]

[eqn: (- INF ,``` INF )]에서 미분가능하려면 [eqn: x=0,```1]에서 연속이고

미분가능이어야 한다.

함수 [eqn: y=ax ^{3} +bx ^{2} +c`x+1]는 점 [eqn: (0,```6)]을 지나므로

[eqn: x=0]에서 연속이다.

[eqn: x=1]에서 연속이려면 [eqn: 0 = a+b+c+1]

[eqn: THEREFORE ```a+b+c=-1]

[eqn: y``' = 3ax ^2 + 2bx +c ``]

ⅰ) [eqn: x=0]에서 미분가능하려면 [eqn: 0=c``]

ⅱ) [eqn: x=1]에서 미분가능하려면 [eqn: 3a+2b+c =0]

[eqn: THEREFORE ``` {cases{a+b=-1#3a+2b=0}}]

[eqn: THEREFORE ```a=2,```b=-3]

[eqn: THEREFORE ```a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =13]

따라서 [eqn: a^2 + b^2 =13]

[4점][1998년 수능]

수직선 위에 두 점 [eqn: rm P _{1} (0)]과 [eqn: rm P _{2} (80)]이 있다. 선분 [eqn: rm P_1 P_2]의 중점을 [eqn: rm P_3 it (x_3 )], 선분 [eqn: rm P_2 P_3]의 중점을 [eqn: rm P _{4} it (x _{4} ),``` CDOTS], 선분 [eqn: rmP _{itn} P _{itn+1}]의 중점을 [eqn: rmP _{itn+2} (itx _{n+2} )]라 할때, [eqn: lim from { n -> inf } x_n]의 값을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.

정답 [eqn: 53.33]

[eqn: x_n+1 = {x_n + x_n+1 } over 2], [eqn: x_n+1 = 1 over 2 x_n+1 + 1 over 2 x_n]

[eqn: x _{n+2} - alpha x _{n} = beta (x _{n+1} - alpha x _{n} `)]에서

[eqn: x _{n+2} -x _{n+1} =- {1} over {2} (x _{n+1} -x _{n} ``)]

[eqn: x _{n} =x _{1} + sum _{k=1} ^{n} 80 LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{k-1}][eqn: = 0+ 80 {left{ 1- left( - 1 over 2 right)^n-1 right}} over {1-left( - 1 over 2 right)}]

[eqn: = 160 over 3 left{ 1- left(- 1 over 2 right)^n-1 right}]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n -> INF } {} x _{n} = {160} over {3}][eqn: ≒53.33]

[3점][1998년 수능]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

1998학년도 수능기출 [자연계] 해설지 (97/11/19)