◦  먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

자연계

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수 리 영 역

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1997학년도 대학수학능력시험 문제지

제 2 교시           수 리 영 역

성명			수험번호						3

자연계

◦  문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦  답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦  단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦  계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

16

[eqn: (125` ^{2} `-`75` ^{2} `)`÷` LEFT { 5`+`(30`-`50)`÷`(-4)` RIGHT }]의 값은?

정답 ④

[eqn: 125^2 - 75^2 = (125+75)(125-75)][eqn: = 200×50=10000]

[eqn: 5+(30-50)÷(-4)=10]

주어진 식[eqn: =10000÷10=1000]

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: 75]	②　[eqn: 125]	③　[eqn: 900]

④　[eqn: 1000]	⑤　[eqn: 1225]

[eqn: alpha`=`-2`+`i`,~beta`=`1`-`2`i``]일 때, [eqn: alpha`bar alpha`+`bar alpha`beta`+`alpha`bar beta`+`beta`bar beta``]의 값은?
(단, [eqn: bar{alpha } ,``` bar{beta }]는 [eqn: alpha ,``` beta]의 켤레복소수이고, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.)

정답 ②

[eqn: alpha bar{alpha } + bar{alpha } beta + alpha bar{beta } + beta bar{beta } ``]

[eqn: = alpha ( bar{alpha } + bar{beta } )+ beta ( bar{alpha } + bar{beta } )] [eqn: =( alpha + beta )( bar{alpha + beta } )]

[eqn: =( alpha + beta )( bar{alpha } + bar{beta } )][eqn: =(-1-i)(-1+i)=2]

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 4]

④　[eqn: 10]	⑤　[eqn: 20]

두 벡터 [eqn: vec{a} ,``` vec{b}]가 이루는 각이 [eqn: 60 DEG]이다. [eqn: vec b``]의 크기는 [eqn: 1]이고, [eqn: vec a`-`3 `vec b``]의 크기가 [eqn: sqrt {13}]일 때, [eqn: vec{a}]의 크기는?

정답 ③

[eqn: vec{a} BULLET vec{b} =|` vec{a} `| BULLET |` vec{b} `|cos60 ^{CIRC } =|` vec{a} `| BULLET {1} over {2}]

[eqn: veca - 3 ` vecb ` = sqrt 13]이므로 [eqn: {| veca - 3 ` vecb ``| }^2 = 13]

[eqn: ( veca - 3 ` vecb ``)( veca - 3 ` vecb ``) = 13] [eqn: RARROW ``` vec{a} BULLET vec{a} -6 vec{a} BULLET vec{b} +9 vec{b} BULLET vec{b} =13]

[eqn: RARROW ```|` vec{a} `|-3|` vec{a} `|+9=0] [eqn: RARROW ```|` vec{a} `|-3`|` vec{a} `|-4=0]

[eqn: RARROW ```(`|` vec{a} `|-4`)(`|` vec{a} `|+1)=0]

[eqn: THEREFORE ```|` vec{a} `|=4]

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 3]	③　[eqn: 4]

④　[eqn: 5]	⑤　[eqn: 7]

[eqn: lim _{x` -> `0} {} ` {sin`(3`x` ^{3} `+`5`x` ^{2} `+`4`x`)} over {2`x` ^{3} `+`2`x` ^{2} `+`x} ``]의 값은?

정답 ①

[eqn: lim_x->0 {sin(3x^3 + 5x^2 + 4x )} over {3x^3 + 5x^2 +4x ``}× {3x^3 + 5x^2 +4x ``} over {2x^3 + 2x^2 +x ``}]

[eqn: = 1× lim_x->0 {3x^2 + 5x +4 ``} over {2x^2 + 2x +1 ``}][eqn: =4]

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: 4]	②　[eqn: 3]	③ [eqn: 3 over 2]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: {`sin3} over 2]

전체집합 [eqn: U``]의 두 부분집합 [eqn: A,```B]에 대하여
[eqn: A`*`B`=`(A`∩`B`)`∪`(A`∪`B`)`^c``]
라고 정의할 때, 항상 성립한다고 할 수 없는 것은?
(단, [eqn: U`not=`phi``])

정답 ①

① [eqn: A*U=(A∩U)∪(A∪U)^c = A ∪phi =A]

② [eqn: B*A=(B∩A)∪(B∪A)^c]이므로[eqn: A*B=B*A ``]

③ [eqn: A*phi =(A∩phi)∪(A∪phi)^c = phi ∪ A^c = A^c]

④ [eqn: A^c *B^c =(A^c ∩B^c )∪(A^c ∪B^c )^c]

[eqn: =(A∪B)^c ∪(A∩B) = A*B ``]

⑤ [eqn: A*A^c = (A∩A^c )∪(A∪A^c )^c][eqn: = phi ∪ U^c = phi]

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: A`*`U`=`U``]	②　[eqn: A`*`B`=`B`*`A``]

③　[eqn: A`*`phi`=`A`^c``]	④　[eqn: A`*`B`=`A`^c`*`B`^c``]
⑤　[eqn: A`*`A`^c`=`phi``]

어떤 일차변환은 점 [eqn: rmP(2,```0)]을 점 [eqn: rm Q`` LEFT ( {1} over {sqrt {2}} ,``` {1} over {sqrt {2}} RIGHT )]로,
점 [eqn: rmR(0,```2)]를 점 [eqn: rm S`` LEFT ( - {1} over {sqrt {2}} ,``` {1} over {sqrt {2}} RIGHT )]로 옮긴다. 이 일차변환을 나타내는 행렬을 [eqn: A``]라고 하자.
[eqn: A` ^{4} {pmatrix{1#1}} `= {pmatrix{a#b}}]일 때, [eqn: {a`+`b`i} over {1`+`i}]의 값은? (단, [eqn: i`=`sqrt{-1}``])

정답 ①

주어진 일차변환은 원점을 중심으로 [eqn: 45^circ]회전이동한

다음, 원점을 중심으로 [eqn: 1 over 2]배로 축소하는 일차변환이다.

[eqn: A= {pmatrix{{1} over {2}&&0#0&&{1} over {2}}} {pmatrix{cos45 DEG &&-sin45 DEG #sin45 DEG &&cos45 DEG }}]

[eqn: = {1} over {2} {pmatrix{cos45 DEG &&-sin45 DEG #sin45 DEG &&cos45 DEG }}]

[eqn: A ^{4} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} {pmatrix{cos180 DEG &&-sin180 DEG #sin180 DEG &&cos180 DEG }}][eqn: = {1} over {16} {pmatrix{-1&&0#0&&-1}}]

[eqn: THEREFORE ```A ^{4} {pmatrix{1#1}} = {1} over {16} {pmatrix{-1&&0#0&&-1}} {pmatrix{1#1}}][eqn: = 1 over 16 pmatrix{-1#-1}][eqn: = pmatrix{a#b}]

[eqn: THEREFORE ```a=- {1} over {16} ,```b=- {1} over {16}]

[eqn: THEREFORE ``` {a+b`i} over {1+i} ``=- {1} over {16} TIMES {1+i} over {1+i}][eqn: = - 1 over 16]

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: - 1 over 16``]	②　[eqn: sqrt2 over 8``]	③　[eqn: 1 over 16 scale 100 i``]

④　[eqn: {sqrt2`+`i} over 8``]	⑤　[eqn: {-1`+`sqrt2} over 16``]

다음 그림은 동일한 저항() [eqn: 10]개가 연결된 회로이다. 이 회로와 연결 상태가 같은 것은?

정답 ⑤

주어진 회로를 일렬로 펼친 것을 찾으면 된다.

[별해]

우선 ⑧, ⑨, ⑩이 없다고 가정하고 회로를 구성하면

여기서 위 그림을 보면

⑧은 [eqn: a``]와 ① 사이의 점과 [eqn: b``]와 ⑦ 사이의 점을

⑨은 ①과 ② 사이의 점과 ⑦과 ⑥ 사이의 점을

⑩은 ②와 ③ 사이의 점과 ⑥과 ⑤ 사이의 점을 이으면

된다.

따라서 연결상태가 같은 회로는 ⑤이다.

[2점][1997년 수능]

①

②

③

④

⑤

어느 청량 음료 회사의 연간 청량 음료 판매량은 그 해 여름의 평균 기온에 크게 좌우된다. 과거 자료에 따르면, 한 해의 판매 목표액을 달성할 확률은 그 해 여름의 평균 기온이 예년보다 높을 경우에 [eqn: 0.8], 예년과 비슷할 경우에 [eqn: 0.6], 예년보다 낮을 경우에 [eqn: 0.3]이다. 일기 예보에 따르면, 내년 여름의 평균 기온이 예년보다 높을 확률이 [eqn: 0.4], 예년과 비슷할 확률이 [eqn: 0.5], 예년보다 낮을 확률이 [eqn: 0.1]이라고 한다. 이 회사가 내년에 목표액을 달성할 확률은?

정답 ③

이 회사가 각 경우에 내년에 판매 목표액을 달성할

확률은

ⅰ) 내년 여름의 평균 기온이 예년보다 높을 때

[eqn: p_1 = 0.4 ×0.8 = 0.32]

ⅱ) 내년 여름의 평균 기온이 예년과 비슷할 때

[eqn: p_2 = 0.5×0.6= 0.3]

ⅲ) 내년 여름의 평균 기온이 예년보다 낮을 때

[eqn: p_3 = 0.1 ×0.3 = 0.03]

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 이 회사가 내년에 판매 목표액을

달성할 확률은

[eqn: p= p_1 + p_2 + p_3][eqn: = 0.32 + 0.3 + 0.03][eqn: = 0.65]

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: 0.55]	②　[eqn: 0.60]	③　[eqn: 0.65]

④　[eqn: 0.70]	⑤　[eqn: 0.75]

포물선 [eqn: y`=`x`(x`+`1)``]위에 점 [eqn: rm A`(-1,``0)]이 있다. 점 P가 점 A에서 포물선을 따라 원점 O로 한없이 가까이 갈 때, [eqn: rm ANGLE APO]의 크기의 극한값은?

정답 ③

점 [eqn: rmO]에서의 접선의 기울기는 [eqn: y' _{x=0} =1]이므로

접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각은 [eqn: 45 DEG]이다.

그러므로 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmO]로 가까이 갈 때

[eqn: rm ANGLE APO]의 극한값은 [eqn: 135 DEG]이다.

[별해]

점 [eqn: P``]의 좌표를 [eqn: P(a,```a ^{2} +a),``` ANGLE APO= theta]라 하면

[eqn: bar{AP} = sqrt {(a+1) ^{2} +(a ^{2} +a) ^{2}} =(a+1) sqrt {1+a ^{2}}]

[eqn: bar{OP} = sqrt {a ^{2} +(a ^{2} +a) ^{2}} =-a sqrt {2+2a+a ^{2}}]

(단, [eqn: -1<a<0])

[eqn: THEREFORE ```cos theta = {(a+1) ^{2} (1+a ^{2} )+a ^{2} (2+2a+a ^{2} )-1} over {2(a+1) sqrt {1+a ^{2}} (-a) sqrt {2+2a+a ^{2}}}]

[eqn: = {2a(a^3 + 2 a^2 +3a +1) } over{-2a(a+1)root1+a^2 root{2+2a+ a^2}}]

이고 [eqn: P``` -> ```0]일 때 [eqn: a``` -> ```0]

[eqn: lim _{a -> 0} {} `cos theta =- {1} over {sqrt {2}}]에서 [eqn: theta =135 DEG]

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: 90 DEG]	②　[eqn: 120 DEG]	③　[eqn: 135 DEG]

④　[eqn: 150 DEG]	⑤　[eqn: 180 DEG]

다항식 [eqn: P`(x)]가 다음 항등식을 만족한다.
[eqn: P(P(x)+x)=(P(x)+x) ^{2} -(P(x)+x)+1]
이 때 미분계수 [eqn: P` prime (0)]의 값은?

정답 ②

[eqn: t=P(x)+x]라 하면 [eqn: P(t)=t ^{2} +t+1]

[eqn: THEREFORE ```P prime (t)=2t-1]에서 [eqn: P'(0)=-1]

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: -2]	②　[eqn: -1]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: 2]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능한 함수 [eqn: f`(x)]가 다음 조건을 만족한다.
[eqn: f`(1-x)=1-f(x)]
다음 중 항상 성립한다고 할 수 없는 것은?

정답 ⑤

[eqn: f(1-x)=1-f(x)``` CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(1-x)=f`'(x)``` CDOTS CDOTS ```㉡]

① [eqn: x=0]을 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: f(0)+f(1)=1]

② [eqn: x=0]을 [eqn: ㉡]에 대입하면 [eqn: f`'(0)+f`'(1)]

④ [eqn: x= {1} over {2}]을 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {2}]

③ [eqn: ㉠]의 양변을 정적분하면

[eqn: int _{0} ^{1} {f(1-x)} ``dx= int _{0} ^{1} {1} ``dx- int _{0} ^{1} {f(x)} ``dx]

[eqn: int _{0} ^{1} {f(1-x)} ``dx= int _{0} ^{1} {f(x)} ``dx]이므로

[eqn: THEREFORE ``` int _{0} ^{1} {f(x)} ``dx= {1} over {2}]

[참고]

[eqn: int _{0} ^{1} {f(1-x)} ``dx]에서

[eqn: 1-x=t]로 치환하고 [eqn: t]에 관하여 미분하면 [eqn: -dx=dt]

[eqn: THEREFORE ``` int _{0} ^{1} {f(1-x)} ``dx= int _{0} ^{1} {f(t)} ``(-dt)]

[eqn: = int _{0} ^{1} {f(t)} ``dt= int _{0} ^{1} {f(x)} ``dx]

[별해]

주어진 함수는 점 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,``` {1} over {2} RIGHT )]에 대하여 대칭인 연속함수

이다.

① [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f``(1-0) = 1- f``(0)]

[eqn: THEREFORE ```f`(1)+f`(0)=1]

② [eqn: -f` prime (1-x)=-f` prime (x),```f` prime (1-0)=-f` prime (0)]

[eqn: THEREFORE ```f` prime (1)=f` prime (0)]

③ [eqn: int _{0} ^{1} {} f`(x)dx=(f`(0)+f`(1)) TIMES 1 TIMES {1} over {2}][eqn: = 1 over 2]

④ [eqn: f``left(1- 1 over 2 right) = 1- f``left( 1 over 2 right)] [eqn: RARROW ````2f`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =1]

[eqn: THEREFORE ```f`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {2}]

⑤ [eqn: f``(0)=0]이라고 반드시 말할 수는 없다.

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: f`(0)+f`(1)=1]	②　[eqn: f`'(0)=f` prime (1)]
③　[eqn: int _{0} ^{1} {} f`(x)``dx= {1} over {2}]	④　[eqn: f`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) `= {1} over {2}]
⑤　[eqn: f`(0)=0]

[eqn: z``]	[eqn: P``(0`<`Z``<=`z``)``]
[eqn: 0.1] [eqn: 0.2] [eqn: 0.3] [eqn: 0.4] [eqn: 0.5] [eqn: 0.6] [eqn: 0.7] [eqn: 0.8] [eqn: 0.9] [eqn: 1.0]	[eqn: 0.0398] [eqn: 0.0793] [eqn: 0.1179] [eqn: 0.1554] [eqn: 0.1915] [eqn: 0.2257] [eqn: 0.2580] [eqn: 0.2881] [eqn: 0.3159] [eqn: 0.3413]

연속확률변수 [eqn: X``]가 평균 [eqn: m``], 표준편차 [eqn: sigma``]인 정규분포를 따를 때, [eqn: X``]의 확률밀도함수는
[eqn: f``(x`)`=scale 90 1 over {sqrt{2`pi}``sigma} scale 100 e`^{- scale 90 1 over {2`sigma`^2}`scale 100(x`-`m`)`^2}``]	[eqn: (-`inf`<`x``<`inf)`]이다.
오른쪽 표준정규분포표를 이용하여
[eqn: int_4^6.6 `sqrt{scale 90 2 over pi } scale 100 e`^{- scale 90 {(x`-`5`)`^2} over 8}``d`x``]
의 근사값을 구하면?

정답 ⑤

평균이 [eqn: 5,] 표준편차가 [eqn: 2]인 정규분포를 따르는

연속확률변수 [eqn: X``]의 확률밀도함수는

[eqn: f``(x) = 1 over { 2 sqrt 2pi }e ^{- (x-5)^2 over 8 }]

[eqn: int_4^6.6 sqrt {2 over pi} e ^ {- (x-5)^2 over 8 } `d x``][eqn: = int_4 ^6.6 f``(x) dx ``]

[eqn: = 4 P` `(4<= X <=6.6 )]

[eqn: = 4P``(-0.5 <= Z <= 0.8 )]

[eqn: = 4 left{ P``(0<=Z <= 0.5) + P ``(0<= Z <= 0.8 ) right}]

[eqn: = 4 (0.1915 + 0.2881)][eqn: = 1.9184]

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: 0.1199]	②　[eqn: 0.3864]	③　[eqn: 0.6826]

④　[eqn: 0.9505]	⑤　[eqn: 1.9184]

다음 그림과 같이 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 직선 위를 따라 같은 방향으로 움직인다. [eqn: rmB]는 [eqn: rmA]보다 [eqn: rm 200`m]앞에서 [eqn: rmA]와 동시에 출발한다. [eqn: rmA]의 출발점을 [eqn: a _{1}], [eqn: rmB]의 출발점을 [eqn: a _{2}], [eqn: rmA]가 [eqn: a _{2}]에 도달했을 때 [eqn: rmB]의 위치를 [eqn: a _{3}], [eqn: rmA]가 [eqn: a _{3}]에 도달했을 때 [eqn: rmB]의 위치를 [eqn: a _{4}]라고 하자. 이와 같은 방법을 계속하여 점 [eqn: a _{n} ```(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]을 정한다. [eqn: rmA]의 속도가 [eqn: rmB]의 속도의 [eqn: 2`]배이면, [eqn: rmA]와 [eqn: rmB] 사이의 거리가 [eqn: rm 1`m``]이내가 되기 시작할 때 [eqn: rmA]의 위치는?

정답 ③

[eqn: B``]의 속도를 [eqn: x]라 하면 [eqn: A]의 속도는 [eqn: 2x]

[eqn: a_2]에서 [eqn: a_3]까지의 거리를 [eqn: y]라 하면 [eqn: y over x = 200 over 2x]

[eqn: THEREFORE ```y=100]

수열 [eqn: left{ P_n `` right}]은 [eqn: 200,```100,```50,```25,``` CDOTS ,```P _{n} ,``` CDOTS]

[eqn: P _{n} =200 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

따라서, [eqn: A``]의 위치는 [eqn: a_8]과 [eqn: a_9] 사이이다.

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: a _{4}]와 [eqn: a _{5}] 사이	②　[eqn: a _{6}]와 [eqn: a _{7}] 사이
③　[eqn: a _{8}]와 [eqn: a _{9}] 사이	④　[eqn: a _{10}]와 [eqn: a _{11}] 사이
⑤　[eqn: a _{12}]와 [eqn: a _{13}] 사이

모든 실수에 대하여 정의된 함수 [eqn: f`(x`)]는
[eqn: f`(x)=x ^{2} ```(-1 <= x <= 1)] 과 [eqn: f`(x+2)=f`(x)] 를 만족하는 주기함수이다. 좌표평면 위에서 각 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y= {1} over {2`n} x`+ {1} over {4`n}]과 함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프와 의 교점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라고 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {a _{n}} over {n}]의 값은?

정답 ③

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f``(x+2) = f``(x)]이므로

함수 [eqn: y = f(x)]는 주기가 [eqn: 2]인 함수이다.

따라서, [eqn: f``(x)]의 그래프는 아래 그림과 같다.

직선 [eqn: y= 1 over 2n x + 1 over 4n]과 함수 [eqn: y = f``(x)]의 그래프와의

교점의 개수는 [eqn: a_n]

[eqn: n=1]일 때, [eqn: y = 1 over 2 x + 1 over 4]이므로 [eqn: a_1 =3]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: y = 1 over 4 x + 1 over 8]이므로 [eqn: a_2 =5]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: y = 1 over 6 x + 1 over 12]이므로 [eqn: a _{3} =7]

[eqn: a _{1} =3,```a _{2} =5,```a _{3} =7,``` CDOTS]이므로

일반항은 [eqn: a_n =2n+1]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n} = lim _{n -> INF } {} {2n+1} over {n} =2]

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: 2]

④　[eqn: 3]	⑤　[eqn: 4]

포물선 [eqn: y=(x-a) ^{2} +b] 위의 두 점 [eqn: P(s+a,```s ^{2} +b)]와 [eqn: Q(t+a,```t ^{2} +b)]에서 각각 그은 이 포물선의 접선은 서로 수직이다. 이 두 접선과 위 포물선으로 둘러싸인 도형의 면적을 [eqn: A``]라고 하자. 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: s<0<t])

정답 ①

두 점 [eqn: rmP,```Q]에서 포물선 [eqn: y=(x-a) ^{2} +b]에 그은 접선의 기울기는 각각 [eqn: y' _{x=s+a} =2s], [eqn: y' _{x=t+a} =2t]이므로

서로 수직이려면[eqn: 2s·2t=4st=-1]이다.

[eqn: THEREFORE ```st=- {1} over {4}]

따라서 [eqn: s]가 증가하면 [eqn: t]도 증가한다.

그리고 [eqn: a,```b]의 값에 관계없이 넓이 [eqn: A]는 변하지 않는다.

[별해]

[eqn: y=(x-a) ^{2} +b] 위의 두 점 [eqn: P(s+a,```s ^{2} +b)]와

[eqn: Q(t+a,```t` ^{2} +b)]를 점 [eqn: (a,```b)]가 원점에 오도록 평행이동

을 시켜도 같은 구조가 되며,

넓이 [eqn: A``]도 변하지 않으므로 ([그림 1], [그림 2] 참조)

[그림1]

[그림2]

포물선 [eqn: y=x ^{2}]과 두 점 [eqn: P` prime `(s,```s ^{2} ),```Q` prime `(t,```t ^{2} )]에서 생각

하면 된다.

따라서 [eqn: a,```b]가 변하면 [eqn: A``]도 변한다는 (ㄴ), (ㄷ)은

옳지 않다. 또, [eqn: s]가 증가하면, 두 접선이 수직이므로

[eqn: t]도 증가하게 되므로 (ㄱ)만 옳은 답이다.

[2점][1997년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: s]가 증가하면 [eqn: t]도 증가한다. ㄴ. [eqn: a]가 증가하면 면적 [eqn: A]도 증가한다. ㄷ. [eqn: b]가 변하면 면적 [eqn: A]도 변한다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄴ, ㄷ

‘12진법 모임’의 회원들은 자연수를 다음 표와 같이 대응하여 적는다고 한다.

[eqn: 10]진법	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]	[eqn: 11]	[eqn: 12]	[eqn: 13]	[eqn: CDOTS]
[eqn: 12]진법	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: x]	[eqn: y]	[eqn: 10]	[eqn: 11]	[eqn: CDOTS]

[eqn: 12]진법 덧셈의 예를 들면, [eqn: 1+9=x,```x+y=19]이다. [eqn: 12]진법의 두 수 [eqn: xxx]와 [eqn: yyy]의 합 [eqn: xxx+yyy]의 값을 [eqn: 12]진법으로 표기한 것은?

정답 ③

문제의 표와 [eqn: 12]진법 덧셈의 예에서

[eqn: 1+9=x,```x+y=19]이다.

[eqn: xxx+yyy]를 세로 방법으로 하면

	[eqn: xxx``]	[eqn: 2]째 자리 [eqn: 1+x+y=1x``]
＋	[eqn: yyy``]	[eqn: 3]째 자리 [eqn: 1+x+y=1x``]
	[eqn: 1xx9]

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: 1779]	②　[eqn: 2331]	③　[eqn: 1xx9]

④　[eqn: 1yy9]	⑤　[eqn: 1yyx]

오른쪽 순서도는 부등식 [eqn: 2`^n+1`<`9`n`^4``]이 성립하지 않는 가장 작은 자연수 [eqn: n``]을 찾기 위하여 작성하였다. 오른쪽 순서도에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

정답 ④

부등식 [eqn: 2^n+1 <9 n`^4 `]

[eqn: N=0,```S=2,```N=1,```S=2 ^{2} ,```S=2 ^{3}]이므로

㈎ [eqn: [`S``` larrow ```S TIMES 2`]]가 되어야한다

문제에서 [eqn: 2^n+1 <9 n`^4 `]이 성립하지 않는

가장 작은 자연수이므로

㈏ [eqn: [`S GEQ 9N` ^{4} `]]이 되어야 한다.

이 때, ㈐ [eqn: [`N을```인쇄`]]라고 하여야 한다.

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: S<-S+2],  [eqn: S GEQ `9`N ^{4}], [eqn: N+1]을 인쇄

②　[eqn: S<-S TIMES 2],  [eqn: S`<`9`N`` ^{4} `], [eqn: N]을 인쇄

③　[eqn: S<-S TIMES 2],  [eqn: S`<`9`N`` ^{4} `], [eqn: N+1]을 인쇄

④　[eqn: S<-S TIMES 2],  [eqn: S GEQ `9`N ^{4}], [eqn: N]을 인쇄

⑤　[eqn: S<-S TIMES 2],  [eqn: S GEQ `9`N ^{4}], [eqn: N+1]을 인쇄

다음은 명제 ｢[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1111]을 만족하는 [eqn: BOX{~~㈎~~}]｣에 대한 증명에서 중간 부분을 적은 것이다.

	[ 증 명 ]
…(생략)… 정수 [eqn: x,```y,```z]를 각각 [eqn: 8]로 나누면 나머지가 각각 [eqn: 0,```1,```2,```3,```4,```5,```6,```7]중 하나이다. 따라서 [eqn: x ^{2} ,```y ^{2} ,```z ^{2}]을 각각 [eqn: 8]로 나누면 나머지가 [eqn: 0,```1,```4] 중 하나이다. 그러므로 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2}]을 [eqn: 8]로 나누었을 때 나머지는 각각 [eqn: 0,```1,```2,```3,```4,```5,```6] 중 하나이다. 그런데, [eqn: 1111]을 [eqn: 8]로 나누면 나머지는 [eqn: 7]이다. …(생략)…

다음 중 위의 [eqn: BOX{~~㈎~~}]에 알맞은 것은?

정답 ⑤

[eqn: x,```y,```z]가 정수일 때 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 = 1111]에서

[eqn: x^2 +y^2 + z^2]을 [eqn: 8]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: 0,```1,```2,```3,```4,```5,```6]중 하나이고 [eqn: 1111]을 [eqn: 8]로 나누면

나머지가 [eqn: 7]이므로

주어진 명제의 등식이 성립하지 않는다.

따라서 주어진 [eqn: x,```y,```z]가 모두 정수인 해는 없다.

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: x,```y,```z] 중 적어도 하나는 정수이다.

②　[eqn: x,```y,```z] 중 어느 것도 정수가 아니다.

③　[eqn: x,```y,```z]가 모두 정수인 해가 적어도 하나 있다.

④　[eqn: x,```y,```z]가 모두 정수인 해가 오직 하나 있다.

⑤　[eqn: x,```y,```z]가 모두 정수인 해는 없다.

오른쪽 그림에서 사각형 [eqn: rmABCD]는 원에 내접하고 두 대각선 [eqn: rmAC]와 [eqn: rmBD]는 점 [eqn: rmP]에서 만나며 서로 수직이다. 또, 점 [eqn: rmP]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmE]라 하고, 직선 [eqn: rmPE]와 변 [eqn: rmAD]가 만나는 점을 [eqn: rmF]라고 하자.
다음 중 여기에서 증명될 수 없는 것은?

정답 ⑤

① [eqn: ∠CBP``]와 [eqn: ∠PAD``]는 [eqn: archCD``]에 대한 원주각이므로

같다.

② [eqn: △EBP``]와 [eqn: △EPC``]는 서로 닮음이므로

[eqn: ANGLE EBP= ANGLE EPC``` CDOTS CDOTS ```㉠]

또한 ①에 의하여[eqn: ANGLE EBP= ANGLE PAF``` CDOTS CDOTS ```㉡]

[eqn: ∠EPC=∠APF ``](∴맞꼭지각)

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: ANGLE EPC= ANGLE PAF``` CDOTS CDOTS ```㉢]

㉢, ㉣에 의하여 [eqn: ANGLE APF= ANGLE PAF``` CDOTS CDOTS ```㉣]

③ [eqn: ∠BCP= ∠FDP``]([eqn: ∴ archAB]에 대한 원주각)[eqn: CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: ∠BCP=∠EPC =90°]

[eqn: ∠APF + ∠FPD =90°]

[eqn: ∠EPC = ∠APF ``]

[eqn: ∴∠BCP=∠FDP``]․․․㉡

㉠, ㉡에 의하여[eqn: ∠FPD = ∠FDP ``]

④ ②에 의하여 [eqn: △PAF``]는 이등변삼각형이므로

[eqn: barAF = barPF ``]

③에 의하여 [eqn: barPF = barFD ``]    [eqn: ∴barAF = barFD ``]

⑤ <거짓>

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: rm ANGLE CBP= ANGLE PAD]	②　[eqn: rm ANGLE APF= ANGLE PAF]
③　[eqn: rm ANGLE FPD= ANGLE FDP]	④ [eqn: rm overline AF = overline FD]
⑤ [eqn: rm overline AP = overline AF]

구 [eqn: (x-1) ^{2} +(y-2) ^{2} +(z-3) ^{2} =1] 위의 점에서 평면
[eqn: x+y+z=10] 에 이르는 거리의 최소값은?

정답 ②

주어진 구는 중심이 [eqn: (1,```2,```3)]이고 반지름의 길이가

[eqn: 1]인 구이다.

따라서, 중심 [eqn: (1,```2,```3)]으로부터

평면 [eqn: x+y+z= 10]까지의 거리는

[eqn: h = {|1+2+3-10|} over {sqrt {1^2 + 1^2 + 1^2 }} = 4 over sqrt 3]

그러므로 구의 점에서 평면까지의 거리의 최소값은

[eqn: 4 over sqrt 3 -1 = {4-sqrt 3 } over sqrt 3 = {4sqrt 3 -3 } over 3]

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: {3`sqrt3`-`3} over 3``]	②　[eqn: {4`sqrt3`-`3} over 3``]	③　[eqn: {3`sqrt3`+`2} over 3``]

④　[eqn: {2`sqrt3`+`5} over 3``]	⑤　[eqn: {3`sqrt3`+`5} over 3``]

[eqn: 2525]년 여름쯤 [eqn: 2526]년 [eqn: 1]월의 계획을 세우려고 하는데, 그 해([eqn: 2525]년) [eqn: 1]월부터 [eqn: 12]월까지의 달력은 있으나 새해([eqn: 2526]년) [eqn: 1]월의 달력이 없다. 이 때, [eqn: 2526]년 [eqn: 1]월의 달력과 요일 및 날짜가 같게 구성된 달을 [eqn: 2525]년 달력 중에서 찾으면?

정답 ②

[eqn: 2526]년 [eqn: 1]월의 달력과 요일 및 날짜의 구성이 같으려면

어떤 주어진 달의 [eqn: 1]일부터 그 해 [eqn: 12]월 [eqn: 31]일까지의

날짜 수가 [eqn: 7]의 배수이어야 한다.

[eqn: 3]월 [eqn: 1]일～[eqn: 12]월 [eqn: 31]일의 날짜의 수 : [eqn: 306]일

[eqn: 5]월 [eqn: 1]일～[eqn: 12]월 [eqn: 31]일의 날짜의 수 : [eqn: 245]일

[eqn: 9]월 [eqn: 1]일～[eqn: 12]월 [eqn: 31]일의 날짜의 수 : [eqn: 184]일

[eqn: 8]월 [eqn: 1]일～[eqn: 12]월 [eqn: 31]일의 날짜의 수 : [eqn: 153]일

따라서 날짜 수가 [eqn: 7]의 배수인 것은 [eqn: 5]월이다.

[별해]

[eqn: 2526]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일은 [eqn: 2525]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일에서 [eqn: 366]일 째 되는

날이다. ([eqn: 366=7 TIMES 52+2])

다시 말해서 [eqn: 7]로 나누어 나머지가 [eqn: 2]일 째 되는 날이다.

[eqn: 3]월 [eqn: 1]일 : [eqn: 31+28+1=60=7 TIMES 8+4]

[eqn: 5]월 [eqn: 1]일 : [eqn: 60+31+30=121=7 TIMES 17+2]

[eqn: 7]월 [eqn: 1]일 : [eqn: 121+31+30=182=7 TIMES 26]

[eqn: 8]월 [eqn: 1]일 : [eqn: 182+31=213=7 TIMES 30+3]

따라서 [eqn: 5]월이 [eqn: 2526]년 [eqn: 1]월의 달력과 같다.

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: 3]월	②　[eqn: 5]월	③　[eqn: 7]월

④　[eqn: 8]월	⑤　없다.

어떤 원자의 전자들은 에너지의 증감에 따라 세 가지 상태 [eqn: a,```b,```c]로 바뀐다. 이 때, 다음 규칙이 적용된다고 하자.

규칙　1：에너지가 증가하면 [eqn: b``]상태의 전자는 [eqn: c``]상태로 올라가고, [eqn: a``]상태의 전자 중 일부는 [eqn: b``]상태로, 나머지는 [eqn: c``]상태로 올라간다.

규칙　2：에너지가 감소하면 [eqn: b``]상태의 전자는 [eqn: a``]상태로 내려가고, [eqn: c``]상태의 전자 중 일부는 [eqn: b``]상태로, 나머지는 [eqn: a``]상태로 내려간다.

<단계 1>에서 전자는 [eqn: a``]상태에 있다. 에너지가 증가하여 <단계 2>가 되면 이 전자는 [eqn: b``]상태 또는 [eqn: c``]상태가 된다. 이 때, 이 전자가 취할 수 있는 변화의 경로는 [eqn: a~->~b``]와 [eqn: a~->~c``]의 [eqn: 2]가지이다. 다시 에너지가 감소하여 <단계 3>이 되면, 이때까지의 가능한 변화 경로는 [eqn: a``` -> ```b``` -> ```a], [eqn: a``` -> ```c``` -> ```b], [eqn: a``` -> ```c``` -> ```a]의 [eqn: 3]가지이다. 이와 같이 에너지의 증가와 감소가 교대로 계속될 때, <단계 1>부터 <단계 7>까지 이 전자의 가능한 변화 경로의 수는?

정답 ④

에너지 증가시 : [eqn: a``` -> ```b,```c```(2가지),] [eqn: b``` -> ```c```(1가지)]

에너지 감소시 : [eqn: b``` -> ```a```(1가지),] [eqn: c``` -> ```a,```b```(2가지)]

단계1 [eqn: a``]

단계2 <증가> [eqn: a->b ~또는~c``] (각각 [eqn: 1]가지)

단계3 <감소> [eqn: b->a``], [eqn: c-> b~ 또는 ~a``] (각각 [eqn: 1]가지)

즉, [eqn: a``(2)], [eqn: b``(1)]

단계4 <증가> [eqn: a->b ~또는~ c ``] (각각 [eqn: 2]가지), [eqn: b->c``] ([eqn: 1]가지)

즉, [eqn: b(2),```c(3)]

단계5 <감소> [eqn: b->a``] ([eqn: 2]가지), [eqn: c-> b~ 또는 ~a``] (각각 [eqn: 3]가지)

즉, [eqn: a``(5)], [eqn: b``(3)]

단계6 <증가> [eqn: a->b ~또는 ~c ``] (각각 [eqn: 5]가지), [eqn: b->c``]([eqn: 3]가지)

즉, [eqn: b``(5),c``(8)]

단계7 <감소> [eqn: b->a``] ([eqn: 5]가지), [eqn: c-> b~ 또는 ~a``] (각각 [eqn: 8]가지)

즉, [eqn: a``(13),~b``(8)]

따라서, 가능한 변화 경로의 수는 [eqn: 21]가지이다.

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: 18]	②　[eqn: 19]	③　[eqn: 20]

④　[eqn: 21]	⑤　[eqn: 22]

그림과 같이 높이가 [eqn: 100rmcm]이고 윗면은 반지름이 [eqn: 50rmcm], 아랫면은 반지름이 [eqn: 30rmcm]인 원으로 된 원뿔대 모양의 물통에 물이 가득 차 있었다. 이 물통의 바닥에 구멍이 나서 바닥에서부터 수면까지의 높이가 [eqn: h`rmcm]일 때 매초 [eqn: 4 sqrt {h} ` rm cm ^{3}]의 양으로 물이 새어 나가고 있다. [eqn: h=50]일 때 높이의 순간 변화율은? (단위는 [eqn: rmcm/sec])

정답 ④

높이가 [eqn: h]일 때 수면의 반지름을 [eqn: r], 부피를 [eqn: V]라 하자.

오른쪽 그림에서 [eqn: 50```:```30=(100+x)```:```x]

[eqn: THEREFORE ```x=150]

[eqn: r```:`(h+150)=50```:```250]

[eqn: THEREFORE ```r= {1} over {5} (h+150)]

[eqn: V= {1} over {3} pi · {1} over {25} (h+150) ^{3} - {1} over {3} pi ·30 ^{2} ·150]

[eqn: {dV} over {dt} = {1} over {25} pi LEFT ( h+150 RIGHT ) ^{2} · {dh} over {dt}]

[eqn: -4 sqrt {h} = {1} over {25} pi LEFT ( h+150 RIGHT ) ^{2} · {dh} over {dt}]

[eqn: THEREFORE ``` {dh} over {dt} = {-100 sqrt {h}} over {pi LEFT ( h+150 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: THEREFORE ``` LEFT ( {dh} over {dt} RIGHT ) _{h=50} = {-100 sqrt {50}} over {pi ·200 ^{2}} =- {5 sqrt {2}} over {4 pi } TIMES 10 ^{-2}]

[별해]

[eqn: 30 ``:``150 = r``:``(150+h)]   [eqn: ∴ r = 30 + h over 5]

[eqn: V = pi over 3 left{ left( 30+ h over 5 right)^2 (h+150) - 30^2 ×150 right}]

[eqn: dV over dt = pi over 3 left{ 2 left( 30+ h over 5 right) × 1 over 5 (h+150)][eqn: + left( 30+ h over 5 right)^2 right} dh over dt]

[eqn: h = 50]일 때, [eqn: - 4 sqrt 50 = pi over 3 × 4800 × dh over dt]

[eqn: ∴ dh over dt = - 1 over pi × {4×5×sqrt 2 } over 1600][eqn: = -{ 5sqrt 2} over {4 pi } × 10^-2]

[4점][1997년 수능]

①　[eqn: - {20` sqrt {2}} over {pi } TIMES 10` ^{-2}]	②　[eqn: - {5` sqrt {2}} over {pi } TIMES 10` ^{-2}]
③　[eqn: - {20` sqrt {2}} over {9` pi } TIMES 10` ^{-2}]	④　[eqn: - {5` sqrt {2}} over {4` pi } TIMES 10` ^{-2}]
⑤　[eqn: - {4` sqrt {2}} over {5` pi } TIMES 10` ^{-2}]

오른쪽 그림과 같은 직원뿔 모양의 산이 있다. A 지점을 출발하여 산을 한 바퀴 돌아 B 지점으로 가는 관광 열차의 궤도를 최단거리로 놓으면, 이 궤도는 처음에는 오르막길이지만 나중에는 내리막길이 된다. 이 내리막길의 길이는?

정답 ④

직원뿔을 펼치면 다음 그림과 같다.

[eqn: rm ANGLE AOB= {40 pi } over {60} = {2} over {3} pi]

코사인제이법칙에 의해서

[eqn: rm bar{AB` ^{2}} =60 ^{2} +50 ^{2} -2·60·50·cos {2} over {3} pi =9100]

[eqn: THEREFORE ``` bar{rmAB} =10 sqrt {91}]

[eqn: rm TRIANGLE OAB= {1} over {2} ·10 sqrt {91} ·ith][eqn: = {1} over {2} ·60·50·sin {2} over {3} pi]

[eqn: THEREFORE ```h= {150 sqrt {3}} over {sqrt {91}}]

[eqn: bar{rmCB` ^{2}} =50 ^{2} - LEFT ( {150 sqrt {3}} over {sqrt {91}} RIGHT ) ^{2} = {2500 TIMES 64} over {91}]

따라서 내리막길의 길이[eqn: = bar{rmCB} = {400} over {sqrt {91}}]

[별해]

[eqn: l=r theta]에서 [eqn: 40 pi =60 theta]  [eqn: THEREFORE ``` theta = {2} over {3} pi]

위의 그림과 같은 원뿔의 전개도에서

[eqn: A``]와 [eqn: B``]의 최단 거리는 [eqn: barAB ``]이다.

[eqn: C``]에서 [eqn: barAB ``]에 가장 가까운 지점을 [eqn: D``]라 하면

[eqn: A``]에서 [eqn: D``]까지는 오르막길,

[eqn: D``]에서 [eqn: B``]까지는 내리막길이 된다.

[eqn: △ACB``]에서 제 코사인법칙에 의하여

[eqn: barAB^2 = 60^2 + 50^2 - 2 ․ 60 ․ 50 ․ cos120^circ = 9100]

[eqn: ∴ barAB = sqrt 9100 = 10 sqrt 91]

[eqn: △ACB``]의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S = 1 over 2 ×60 ×50 × sin120^circ = 750 sqrt 3]

한편, [eqn: S = 1 over 2 barAB ․ barCD ``][eqn: = 1 over 2 ․ 10 sqrt 91 ․ barCD ``][eqn: = 750 sqrt 3]

[eqn: THEREFORE ``` bar{CD} = {150 sqrt {3}} over {sqrt {91}}]

[eqn: △CBD``]에서

[eqn: barBD^2 = barBC^2 - barCD ^2][eqn: = 50^2 - left( {150sqrt 3} over sqrt 91 right)^2][eqn: = 400^2 over 91]

[eqn: THEREFORE ``` bar{BD} = {400} over {sqrt {91}}]

[4점][1997년 수능]

①　[eqn: {200} over {sqrt {19}}]	②　[eqn: {300} over {sqrt {30}}]	③　[eqn: {300} over {sqrt {91}}]

④　[eqn: {400} over {sqrt {91}}]	⑤　[eqn: {300} over {sqrt {91}}]

주관식 문항 (25～30)

정사각형 모양의 타일이 좌표평면에 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로가 각각 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축과 일치되게 놓여 있다. 이 타일에 [eqn: y=f`(x)]와 [eqn: y=g`(x)]의 그래프를 경계로 하여 파랑색과 노랑색을 칠하려고 한다. 파랑색과 노랑색이 칠해지는 부분의 넓이의 비가 [eqn: 2```:```3]일 때, [eqn: int _{0} ^{15} {} f`(x)``dx]의 값을 구하여라. (단, 함수 [eqn: g`(x)]는 함수 [eqn: f`(x)]의 역함수이다.)

정답 [eqn: 45]

함수 [eqn: y =g(x)]가 함수 [eqn: y= f(x)]의 역함수이므로

영역은 위의 그림과 같이 분할되고

[eqn: int _{0} ^{15} {} f(x)dx``=S _{1}]이다.

주어진 조건에서 [eqn: 2S _{1} ```:```2S _{2} =2```:```3]이므로

[eqn: S _{1} ```:```S _{2} =2```:```3]이다.

그러므로 [eqn: S _{1}]은 [eqn: rm TRIANGLE OAB]의 넓이의 [eqn: {2} over {5}]이다.

(사각형 [eqn: rmOABC] 넓이의 [eqn: {1} over {5}]이다.)

[eqn: THEREFORE ```S _{1} =15 TIMES 15 TIMES {1} over {5} =45]

[2점][1997년 수능]

함수 [eqn: f``(x`)`=`cases{scale 90 71 over 5 scale 100 - scale 90 19 over 15 scale 100 x~&(x`＜`12)# 1`-`2`log_3`(x`-`9)`~& (x`≧`12)}`] 의 역함수를 [eqn: g`(x)]라고 할 때, [eqn: (g CIRC g CIRC g CIRC g CIRC g)(x)=-3] 을 만족하는 [eqn: x``]의 값을 구하여라. (단, [eqn: (g CIRC g`)`(x)=g` LEFT { g`(x) RIGHT }]이다.)

정답 [eqn: 18]

[eqn: f`^-1 (x)= g(x)]이므로 [eqn: g`^-1 (x) = f(x)]

[eqn: (g circg circg circg circ g)(x) = -3]에서

[eqn: x = (g^-1 circ g^-1 circg^-1 circg^-1 circg^-1 )(-3)]

[eqn: = ( f circ f circ f circ f circ f )(-3)]

[eqn: = ( f circ f circ f circ f )(18)]

[eqn: = ( f circ f circ f )(-3)][eqn: = ( f circ f )(18)][eqn: =f(-3)=18]

[3점][1997년 수능]

오른쪽 그림에서 [eqn: rm□ABCD]의 각 변의 길이는 정수이고  [eqn: rm barAD`=`2`,~ barCD`=`6`,`] [eqn: rm ∠A`=`∠`C`=`90°]이다. 이 사각형 둘레의 최대 길이를 구하라.

정답 [eqn: 24]

위의 그림에서

[eqn: barBD^2 = y^2 +4 = x^2 + 36 ,] [eqn: y^2 - x^2 = 32]

[eqn: (y+x)(y-x) = 16 ×2 = 8×4 = 32×1]

[eqn: cases{y+x =16 # y-x =2 }] 에서 [eqn: (x,```y)=(7,```9)]

[eqn: cases{y+x =8 #y - x = 4 }] 에서 [eqn: (x,```y)=(2,```6)]

[eqn: cases{y+x=32 # y-x =1}] 에서 모순

[eqn: x+y <= 16]

따라서, (둘레의 길이)[eqn: LEQ 24]

즉, 최대 길이는 [eqn: 24]이다.

[3점][1997년 수능]

집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }]의 네 원소를 배열하여 만든 순열 [eqn: (a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3} ,```a _{4} )]에 대하여 각 숫자 [eqn: a_k``]의 오른쪽에 있는 수 중에서 [eqn: a_k``]보다 작은 것들의 개수를 [eqn: s _{k} ```(k=1,```2,```3)]이라고 하고, 이들의 합 [eqn: s _{1} +s _{2} +s _{3}]을 [eqn: |`(a_1`,`a_2`,`a_3`,`a_4``)``|`]로 나타내자.

예를 들면 [eqn: |`(2,```4,```3,```1)`|`=s _{1} +s _{2} +s _{3}][eqn: =1+2+1=4] 이다. 집합 [eqn: A]에 대한 [eqn: 24]개의 모든 순열 [eqn: (i _{1} ,```i _{2} ,```i _{3} ,```i _{4} )]마다 각각 정해지는 [eqn: |`(i _{1} ,```i _{2} ,```i _{3} ,```i _{4} )|]의 총합을 구하여라.

정답 [eqn: 72]

문제에서 각 숫자 [eqn: a_k ``]의 오른쪽에 있는 수 중에서 [eqn: a_k ``]보다 작은 것들의 개수를 [eqn: s _{k}], 큰 것들의 개수를 [eqn: t _{k} ```(k=1,```2,```3)]이라 하면 언제나 [eqn: s_1 + s_2 + s_3 + t_1 + t_2 + t_3 =6]이 성립하며, 전체적으로 볼 때, [eqn: A``]의 각 원소가 배열되는 순서나 위치는 동일한 조건이 된다. 따라서 [eqn: 24]개의 [eqn: s_1 + s_2 + s_3 ``]의 총합과 [eqn: 24]개의 [eqn: t_1 + t_2 + t_3 ``]의 총합은 서로 같다.

[eqn: THEREFORE ```s _{1} +s _{2} +s _{3} `의```총합= {24 TIMES 6} over {2} =72]

[eqn: THEREFORE ```|(i _{1} ,```i _{2} ,```i _{3} ,```i _{4} `)`|`의```총합=72]

[4점][1997년 수능]

두 방정식 [eqn: P(x)=0,```Q(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는 각각 [eqn: 7]개, [eqn: 9]개이고, 집합
[eqn: A= LEFT { (x,```y)`|`P(x)Q(y)=0`이고```Q(x)`P(y)=0,`` RIGHT .][eqn: LEFT. x와```y는```실수 RIGHT }]
는 무한집합이다.
집합 [eqn: A]의 부분집합 [eqn: B= LEFT { `(x,```y)`|`(x,```y)` IN `A`이고```x=y RIGHT }]의 원소의 개수를 [eqn: n(B)]라고 하면 이것은 [eqn: P(x),```Q(x)]에 따라 변한다.
[eqn: n(B)]의 최대값을 구하라.

정답 [eqn: 15]

[eqn: P= LEFT { x`|`P(x)=0 RIGHT } ,```Q= LEFT { x`|`Q(x)=0 RIGHT }]라 하면

[eqn: B= LEFT { (x,```y)`|`(x,```y) IN A이고```x=y RIGHT }]

[eqn: = LEFT { (x,```y)`|`P(x)Q(x)=0 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE ```n(B)=n(P CUP Q)][eqn: = n(P)+ n(Q) - n(P∩Q)]

[eqn: = 7+9-n(P∩Q)][eqn: =16-n(P SMALLINTER Q)``` CDOTS CDOTS ```㉠]

그런데 [eqn: n(P∩Q) =0]

즉, [eqn: P∩Q = phi]이면 [eqn: A = phi ``]이므로 [eqn: n(P SMALLINTER Q) GEQ 1]

따라서, ㉠에서 [eqn: n(P∩Q)=1]일 때,

[eqn: n(B`)`]의 최대값은 [eqn: 15]이다.

[4점][1997년 수능]

[eqn: log _{10} `275]의 값을 [eqn: log _{10} `2=0.301,```log _{10} `11=1.041] 로 계산한 다음, 소수 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하여라.

정답 [eqn: 2.44]

[eqn: log_10 275][eqn: = log_10 (11×25)][eqn: = log_10 11 + log_10 100 over 4]

[eqn: = log_10 11 + 2 - 2 log_10 2][eqn: = 1.041 +2 - (2×0.301)]

[eqn: =3.041-0.602][eqn: =2.439≒2.44]

[2점][1997년 수능]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

1997학년도 수능기출 [자연계] 해설지 (96/11/13)