[물리실험] 자이로스코프와 각운동량

0. 인사

안녕하세요? 물리실험 0조의 발표를 맡게 된 000입니다. 저희가 준비한 실험은 “자이로스코프와 각운동량”에 대한 실험입니다. 저희가 준비한 실험은 앞의 조들이 했던 실험에 비해서 훨씬 간단한 실험인데, 물리 법칙을 오감과 몸으로 직접 체험해보는 데에 중점을 두어 참여해주셨으면 좋겠습니다.

자이로스코프의 정의

먼저 자이로스코프가 무엇인지에 대해서 이야기해보겠습니다. 자이로스코프란 회전의 의해 발생하는 자이로 효과를 사용하여 원점 위치를 역추정하고, 현재 방향이 어느 방향인지 역산출하는 기계입니다. 따라서 운동하는 물체의 방향성을 측정할 때 사용하게 됩니다.

2. 자이로 효과의 정의

그렇다면 자이로 효과란 무엇일까요? 자이로 효과는 물체가 고속으로 회전하여 회전 에너지를 보유하게 되어 다음과 같은 각운동량 보존법칙에 의해 회전축 방향이 잘 변하지 않아 회전축 방향으로 정렬을 유지하게 되는 현상을 일컫습니다.

각운동량은 회전하는 물체가 가지는 운동향으로, 벡터 물리량입니다. 선운동량(우리가 보통 아는 운동량) [eqn: p]를 가지는 위치 [eqn: r]의 질점이 갖는 각운동량은 [eqn: L == r TIMES p]로 나타낼 수 있습니다. 질량 [eqn: m]의 질점이 속도 [eqn: v]를 가질 때, 선운동량이 [eqn: p=mv]임을 이용해 [eqn: L=mr TIMES v]로 나타낼 수 있습니다.

이러한 각운동량은 토크와도 관계가 있습니다. 토크를 한국어로 하면 돌림힘을 말하는데, 이는 물체를 회전시키는 효력을 나타내는 힘이며, [eqn: tau]돌림힘:타우=[eqn: r]받침점까지의 거리벡터 [eqn: TIMES F]힘벡터로 나타냅니다.

뉴턴의 운동 제2법칙인 가속도의 법칙 [eqn: F= {dp} over {dt} = {d(mv)} over {dt}]에 토크의 정의인 [eqn: tau =r TIMES F]를 대입하면 [eqn: tau =r TIMES {dp} over {dt} = {d} over {dt} (r TIMES p)- {dr} over {dt} TIMES p= {dL} over {dt} -v TIMES mv= {dL} over {dt}]로 정리할 수 있습니다. 이 결과를 이용하면 각운동량의 변화량은 [eqn: DELTA L= int _{} ^{} {tau } dt]로 정의됩니다. 이는 마치 선운동량에서의 충격량과 운동량의 변화량의 관계와 흡사합니다.

축을 중심으로 회전하는 물체에 이를 적용하기 위해서는 강체에 대한 이해가 필요합니다. 강체란 어떠한 힘을 받아도 변형이 일어나지 않는 가상의 물체를 말합니다. 이 강체가 공간 좌표 내의 [eqn: z]축을 회전축으로 하여 회전한다고 하겠습니다.

이때 각속도기준이 되는 축 주위로 얼마나 빠르게 도는지를 나타내는 물리량. 즉, 회전력 [eqn: w]는 [eqn: z]축 방향입니다. 강체 내 [eqn: j]번째 입자의 각운동량은[eqn: L _{j} =m _{j} r _{j} TIMES v _{j}]로 정의할 수 있습니다. 이때, [eqn: m _{j} ,`r _{j} ,`v _{j}]는 각각 [eqn: j]번째 입자의 질량, 위치 벡터, 속도 벡터입니다. 한편 [eqn: v _{j} =w TIMES r _{j}]이므로 이를 식에 대입하면

[eqn: L _{j} =m _{j} r _{j} TIMES (w TIMES r _{j} )=m _{j} [r _{j} ^{2} w-(wr _{j} )r _{j} ]]으로 정의할 수 있습니다.

위 식에서 축과 평행한 성분만 생각하면 [eqn: [L _{j} ] _{z} =m _{j} (r _{j}^{2} -z _{j}^{2} )w]이라고 할 수 있습니다. 식에서 나온 [eqn: r _{j}^{2} -z _{j}^{2} == d _{j}^{2}]는 축에서 [eqn: j]번째 입자까지의 수직 거리의 제곱입니다. 이상에서 [eqn: j]번째 입자의 각운동량의 축과 평행한 성분은 [eqn: [L _{j} ] _{z} =m _{j} d _{j}^{2} w]로 나타낼 수 있습니다.

강체의 각운동량은 각 입자의 각운동량을 모두 합하면 됩니다. 따라서

[eqn: L _{z} = sum _{j} ^{} [L _{j} ] _{z} = LEFT [ sum _{j} ^{} m _{j} d _{j}^{2} RIGHT ] w]입니다.

이때, 대괄호 항을 관성 모멘트 [eqn: I]로 정의하여 [eqn: L _{z} =Iw]로 씁니다.

즉, 한 회전축을 기준으로 하여 회전하는 강체의 회전축에 대한 각운동량의 크기는 관성 모멭느와 각속도 크기의 곱으로 주어집니다. 다만 이러한 정의는 팽이와 같이 세차 운동을 하는 물체에는 맞지 않는데, 팽이 등과 같이 세차운동을 하는 물체는 각운동량과 각속도가 평행하지 않아 문제가 발생하게 됩니다. 이에는 더 높은 수준의 역학적 분석이 필요한데, 이를 더 알고싶으시다면 [관성 텐서]에 대한 내용을 참고해주시면 감사하겠습니다.

또한 위의 결과에서 나온 각운동량은 원점에 대한 각운동량이 아닌 회전축에 대한 각운동량으로, 회전축과 평행한 성분임에 대해 유의해야 합니다.

이와 비슷하게 토크와의 관계도 정의할 수 있습니다. [eqn: z]축을 회전축으로 하여 회전하는 강체 내의 [eqn: j]번째 입자가 받는 힘은 뉴턴 제 2법칙에 의해 [eqn: F _{j} = {dp _{j}} over {dt}]로 정의할 수 있습니다. 따라서 각 입자가 받는 회전축에 대한 토크는 [eqn: ( tau _{z} ) _{j} =d TIMES {dp _{j}} over {dt}]입니다. 이때, [eqn: d]는 입자의 위치에서 회전축으로부터 내린 수선의 발을 시점으로 하는 위치 벡터입니다. 따라서

[eqn: ( tau _{z} ) _{j} =d TIMES {dp _{j}} over {dt} = {d} over {dt} (d _{j} TIMES p _{j} )- {dd _{j}} over {dt} TIMES p _{j}]라고 할 수 있습니다.

입자의 원점에서의 위치 벡터를 원점으로부터 수선의 발까지의 벡터 [eqn: alpha _{j}]를 이용하여 [eqn: r _{j} = alpha _{j} +d _{j}]의 형태로 쓰고 [eqn: p _{j} =m _{j} (dr _{j} /dt),`d alpha _{j} /dt=0]임을 이용하면 우변의 제2항은 사라지며, 제 1항은 [eqn: (L _{z} ) _{j}]입니다.

[eqn: ( tau _{z} ) _{j} = {d(L _{z} ) _{z}} over {dt}], 즉, [eqn: tau _{z} = sum _{} ^{} ( tau _{z} ) _{j} = {dL _{z}} over {dt}]입니다.

즉, 물체에 가해지는 회전축에 대한 토크가 없으면 회전축에 대한 각운동량은 보존됩니다. 이것을 수식으로 나타내면 [eqn: Iw=const.]입니다.

흔히, 이 내용은 피겨를 예로 들어 많이 설명합니다. 선수가 피겨스케이팅 공연 도중에 팔을 뻗고 회전을 하다가 팔을 오므리면 회전속도가 빨라지는 현상은 유명한 예시입니다. 이는 팔을 오므리면서 선수의 관성모멘트가 줄어드는 대신 관성모멘트와 각속도의 곱은 일정하므로 각속도(회전속도)가 빨라지는 원리입니다.

3. 자이로스코프 내에서의 자이로 효과

자이로스코프는 지구의 회전과 관계없이 높은 정확도로 항상 처음에 설정한 일정 방향을 유지하는 성질이 있습니다. 따라서 어떠한 공간에 물체의 방위를 측정할 수 있습니다. 또한 자이로가 장착된 차량 등의 경우 이 차량이 회전할 때 각 변화량을 결정하는 데에 사용되기도 합니다.

4. 자이로스코프의 분류

자이로스코프는 큰 범주에서 보면 기계식과 광학식으로 나뉘는데, 기계식 자이로스코프는 회전식과 진동식으로 구분됩니다.

회전식 자이로스코프는 초기의 자이로스코프입니다. 하지만 장기적인 신뢰성 문제와 정확도가 낮다는 문제로 인해 버려진 방식입니다. 이를 보완하기 위해 탄생한 자이로스코프가 바로 진동식인데요, MEMS를 이용한 자이로스코프를 통칭합니다. MEMS란 회로의 한 종류인데, 마이크로센서의 한 종류라고 생각해주시면 될 것 같습니다.

이는 코리올리 효과를 바탕으로 하는데, 코리올리 힘 또한 각운동량 보존법칙 [eqn: {dL} over {dt} =0]에서 회전하는 좌표계 내의 물체가 운동을 하는 경우 회전축에 대해 반지름이 줄어드는 경우에는 줄어드는 반지름에 대해 속도가 변화하게 됩니다. 이 결과 회전좌표계에는 코리올리 힘과 가로힘이 발생하여 [eqn: F _{Coriolis} =2m TIMES (v TIMES OMEGA )]로 정의할 수 있습니다.

광학식 자이로스코프는 빛의 위상차를 이용해 작동하는데, 주로 네비게이션과 같은 전자기기와 함께 사용됩니다.

광섬유로 링을 만들고 빛을 양단에서 서로 반대방향으로 동시에 보내면 두 빛은 링 내를 반대 방향으로 진행해 동시에 점 1에 도달하게 됩니다. 만약, 이 이 시스템이 시계 방향으로 각속도 [eqn: OMEGA]만큼 회전하면 빛이 회전하는 동안 점 1은 점 2를 향해 움직이게 됩니다. 이 때, 반시계 방향으로 회전하는 빛은 점 2에 도달하는 반면, 시계 방향으로 회전하는 빛은 아직도 점 2로부터 떨어져 있게 됩니다. 그 결과 두 빛이 링을 완전히 회전하였을 때, 위상차는 [eqn: DELTA PHI = {8 pi AN} over {lambda c} OMEGA `] ([eqn: A]는 광섬유 링의 내면적 [eqn: pi R ^{2}], [eqn: N]의 권수, [eqn: OMEGA]는 외계의 회전각속도, [eqn: lambda]는 광의 진공중 파장, [eqn: c]는 진공중 광속)로 정의됩니다. 이러한 원리르 바탕으로 작동하는 것이 광학식 자이로스코프입니다.

5. 자이로스코프의 구조 및 기능

자이로스코프의 가장 큰 기능 두 가지는 방향 안정과 세차운동이라고 할 수 있습니다.

먼저 방향 안정은 회전하는 로터에 외력이 없다면 로터의 각운동량 벡터값은 항상 일정하다는 것을 의미합니다. 즉, 자이로는 외력이 없을 경우 회전축을 중심으로 균형을 유지합니다.

다음으로 세차운동은 로터가 외부로부터 로터의 축 방향으로 힘을 받으면 회전 반발력이 생기므로 로터에 수직한 또 다른 수직축 방향에 대해 회전운동을 한다는 것입니다.

이해를 돕기 위해 예시를 한 번 들어보겠습니다. 오토바이나 자전거는 빠른 속력을 내며 달릴 때, 핸들을 직접 조종하지 않고 몸을 한쪽으로만 기울여도 자신이 주행하던 방향을 바꿀 수 있습니다. 오토바이를 기준으로 왼쪽으로 몸을 기울이면 오코바이의 바퀴 윗부분에 대해 왼쪽 지면으로 미는 힘이 발생합니다. 바퀴의 윗부분에서 왼쪽 지면으로 미는 힘은 90도가 지난 바퀴의 앞부분에서 작용하여 왼쪽으로 밀리는 결과가 나타나게 되어 결과적으로 오토바이가 방향을 바꾸게 됩니다.

팽이의 경우, 팽이가 회전할 때 회전운동은 회전축을 중심으로 이루어집니다. 만약 이 팽이에 외력을 가하거나 시간이 지나 팽이가 멈추려하는 상황이 되면 팽이는 여전히 축을 중심으로 회전하고 있으나 회전축 또한 일정한 원 모양의 자취를 그리면서 회전하는 것을 관찰할 수 있습니다. 외력이 크다면 팽이는 멈출 것이고 작다면 팽이는 다시 중심을 잡고 운동할 것입니다. 이러한 운동을 세차 운동이라고 합니다. 이러한 세차 운동은 각운동량 보존 법칙에 의한 내용입니다. 각운동량 보존 법칙에 의하면 각운동량의 방향만이 변하고 이 방향의 변화는 토크와 같기 때문에 세차 운동을 하게 된다고 설명할 수 있습니다.

6. 진행할 실험에 대한 설명

실험1.

1) 줄에 매달아 놓은 자전거 바퀴 자이로스코프를 수직 방향으로 놓은 상태로 회전시킨 후 관찰한다.

2) 같은 자전거 바퀴 자이로스코프를 수평 방향으로 놓은 상태로 회전시킨 후 관찰한다.

실험2.

1) 회전시킨 자이로스코프 자전거 바퀴의 양 옆 손잡이를 잡고 회전할 수 있는 의자에 가만히 앉는다.

2) 바퀴를 여러 각도로 바꿔가며 기울이면서 발생하는 결과를 관찰한다.

실험3.

1) 1번 CD에 나사처럼 돌리면서 모터를 끼우고 글루건으로 고정한다.

2) 건전지 홀더를 모터 아래 쪽에 균형을 고려하여 양면테이프로 붙인다.

3) 전선을 모터의 단자에 연결하고 절연테이프로 감는다.

4) 2번 CD의 구멍에 고무 마개를 나사 끼우듯이 반듯하게 끼워주고, 모터 축에 2번 CD를 꽂는다.

5) 마지막으로 회전판을 돌려 모터 스위치를 켠 후 흔들림 정도를 보고 고무마개를 잘 맞게 끼운다.

6) 해당 작품을 구동시킨 다음 일어나는 현상을 관찰한다.