표본 공간¶
- 확률실험에서 나올 수 있는 결과 집합
- 동전 : {앞면, 뒷면}
- 주사위 : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
사건¶
- 표본 공간에서 알고 싶은 결과
- 표본 공간의 부분집합
- 동전던지기 확률실험에서 '앞면이 나오는 경우'
- 주사위던지기에서 '홀수가 나오는 경우'
경우의 수¶
- 사건이 하나가 아니고 여러 가지 나오는 사건
- 주사위던지기에서 4미만이 나오는 사건의 확률 => {1}, {2}, {3}
확률¶
- 확률실험으로 알고 싶은 건 사건이 일어날 확률
- 확률 = (사건이 일어날 모든 경우의 수) / (표본공간의 모든 공간의 수)
로또 6/45 확률¶
- 확률실험 : 1에서 45까지 숫자가 적힌 공을 임의로 6개 뽑는 실험
- 표본공간 : {1, 2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 7} .....
- 모든 경우의 수 : 8,145,060
- 사건 : 1부터 45중에서 6개 숫자 뽑음
- 사건 경우의 수 : 1
- 확률 : 1/8,145,060
사건의 결과는 반드시 표본공간 안에 포함되어 있어야 함¶
- 우리는 공식으로 계산할게 아니라 이론 내용과 함수 사용법을 익히면 됨 :)
In [1]:
install.packages('gtools')
In [2]:
library(gtools)
In [3]:
data <- c('1', '2', '3')
In [4]:
permutations(3, 2, data)
In [6]:
combinations(3, 2, data)
In [7]:
permutations(3, 2, data, repeats.allowed = T)
In [8]:
combinations(3, 2, data, repeats.allowed = T)
상대도수의 극한 개념으로 동전던지기 확률 구하기¶
- 앞면이 나올 확률이 진짜로 0.5 일까?
실제 확률 실험 결과¶
- 실험결과 이론값과 실험값이 거의 비슷
- 실험을 많이 할수록 어떤 값으로 수렴
확률실험과 확률변수¶
- 확률변수는 반드시 숫자 이어야 함
- 수학적으로 계산하여 의미를 찾아야 하기 때문
- 확률변수는 이산형(확률질량함수)과 연속형(확률밀도함수)에 따라 달라짐
정리¶
- 결과는 성공/실패
- 각 시행 확률은 동일
- 각 시행은 독립적
베르누이 시행 확률분포¶
- 베르누이 시행의 결ㄹ과를 가지고 할 수 있는 확률분포
이항분포 X~B(n, p)¶
- 성공확률이 P인 베르누이 시행을 n번 반복할 때 나타나는 특정 성공횟수 X의 확률에 대한 분포
- 동전을 20번 던저셔 앞면이 나올 확률 => X~B(20,0.5) => 10번 성공 확률이 제일 높음 => 확률은?
- 이항분포 평균 = n*p
- 이항분포 분산 = np(1-p)
In [9]:
Bino <- dbinom(0:20, size=20, prob=0.5) # prop : 확률
Bino
Bino <- dbinom(10, size=20, prob=0.5)
Bino
n, p 변화에 따른 그래프¶
기하분포¶
- 베르누이 시행에서 처음 성공까지 시도한 횟수 X의 분포
- 30% 시험관 아기를 성공하는 병원에서 3번만에 성공할 확률?
In [11]:
# 0.3 시험관 성공(1번하면 0.3, 2번했을때 성공하면 0.21 ....)
a <- dgeom(1:10, 0.3) # 0.147
a
연속적인 변수¶
- 구간에 대한 확률
- 히스토그램으로 나타냄
- 1과 2사이에도 무수히 많은 값이 존재
확률밀도함수¶
- 확률 변수의 분포를 나타내는 함수
- 확률 밀도 함수 f(x) f(x)와 구간 [a,b] 에 대해서 확률 변수 X 가 구간에 포함될 확률 P(a≤X≤b)
정규분포¶
- 평균중심으로 종모양인 본포
- 종의 중앙이 평균, 종의 퍼짐이 분산
- X ~ N (μ,σ2)
표준 정규분포¶
- 정규 그래프중 평균 0, 분산 1인 그래프
- X ~ N (0, 1)
Z값과 정규분포표 사용¶
중심 극한 정리¶
- 모집단이 정규분포를 따르든 따르지 않든 상관없이 동일한 확률분포를 가진 독립 확률 변수 n개의 평균의 분포는 n이 적당히 크다면 정규분포에 가까워진다는 정리
대립가설 H1¶
- 귀무가설과 반대되는 가설
신뢰구간¶
- 구간추정은 모수가 어느 값 a와 어느 값 b사이 구간 내에 몇 %확률로 존재할 것이라고 추정 하는 것
- 그 확률을 신뢰수준 또는 신뢰도 라고 함
- 그 추정한 구간을 신뢰구간이라고 함
- EX) A후보 지지율은 신뢰수준 95%로 신뢰구간 48.7% ~ 53.3% 임
- 신뢰구간에 포함되지 않을 확률을 α
유의수준¶
- 대립가설을 채택하거나 기각할 기준확률 값
- 보통 5%
유의수준 5%¶
- 우연이라고 말할 수 없다
- 이 값보다 작다면 필연적인 이유가 있을 것이다
- 이 값보다 작아지는 영역을 기각역 이라고 함
B의 확률분포를 구하고 결과를 확인¶
In [12]:
# B의 확률 분포계산
Bino <- dbinom(0:8, size=8, prob=0.5)
Bino
In [13]:
# 유의수준 확인 5%
psum <- 0.03125 + 0.00390625
psum
In [15]:
library(ggplot2)
df <- data.frame(x=0:8, prob=dbinom(0:8, size=8, prob=0.5))
ggplot(data = df, aes(x=x, y=prob)) +
geom_line()
p값¶
- 귀무가설(H0)가 옳다는 가정하에서 대립가설(H1)을 지지하는 방향으로의 확률
- 대립가설에 유리한 데이터를 얻을 수 있는 확률
- p값이 유의수준보다 작으면 귀무가설은 기각되고 대립가설이 채택됨
- 컴퓨터에서 계산이 간단해지면서 많이 쓰이게 됨
- p값 0.0544 => 5.44%
In [16]:
# 균일한 난수 - runif()
runif(10)
In [17]:
# 0~100 사이 50개
runif(50, min=0, max=100)
In [18]:
# 정규분포 N(mean, sd^2)
# 정규분포를 따르는 난수 - rnorm()
# 평균 100, 표준편차 15인 난수 10개
rnorm(10, mean=100, sd=15)
In [19]:
# 이항분포 난수 - rbinom()
# 50% 확률로 성공 1 나오는 난수 100개
rbinom(100, size=1, prob=0.5)
In [20]:
# 1/6 확률로 성공 1 나오는 난수 100
rbinom(100, size = 1, prob = 1/6)
In [21]:
# 성공 / 실패 문자로 추출
a <- rbinom(100, size = 1, prob = 1/6)
a[a==1] <- '성공'
a[a==0] <- '실패'
In [22]:
a
확률 계산하기¶
In [23]:
# 정규분포 확률 - 평균(mean) 30, 표준편차(sd) 7, 확률변수 15의 확률 - dnorm()
dnorm(15, mean=30, sd=7)
In [24]:
# 정규분포 확률 - 평균(mean) 550, 표준편차(sd) 80, 확률변수 450의 확률 - dnorm()
dnorm(450, mean = 550, sd = 80)
In [25]:
# 이항분포 확률 - 동전 1000번 던저 490번이 앞면 나올 확률
dbinom(490, size = 1000, prob = 0.5)
In [26]:
# 이항분포 확률 - 흡연율 25%로 알려진 1000명이 있는 A대학에서 50명을 뽑았을 때 흡연자일 확률
dbinom(50, size = 1000, prob = 0.25)
구간확률 계산하기 - 확률밀도함수¶
In [27]:
# 정규분포 구간확률 - 평균(mean)240, 표준편차(sd)80, 정규분포에서 0~235 까지의 확률
pnorm(235, mean=240, sd=80)
In [28]:
# 정규분포 구간확률 - 평균(mean)350, 표준편차(sd)75, 정규분포에서 200~370 까지의 확률
pnorm(370, mean=350, sd=75) - pnorm(200, mean=350, sd=75)
In [29]:
# diff() - 구간 한번에 계산
diff(pnorm(c(200,370), mean = 350, sd = 75))
그래프로 확인 하기¶
- x 축 확률 변수, y축 확률 값
In [30]:
# 확률 밀도 함수
# 평균(mean)50, 표준편차(sd)5인 정규분포
x <- seq(from=0, to=100, by=1)
head(x)
tail(x)
In [32]:
# 1부터 100까지 평균(mean)50, 표준편차(sd)12 인 확률 값
y <- dnorm(x, mean=50, sd=12)
head(y)
tail(y)
In [33]:
# plot()
plot(x, y, type='l')
In [34]:
# 확률 질량 함수
# 100번 베르누이 시행 단일 확률 50% 이항 분포
y = dbinom(x, size=100, prob=0.5)
head(y)
tail(y)
In [35]:
plot(x, y, type='l')
In [36]:
# 주어진 데이터로 밀도 함수 구하기
data <- rnorm(300, mean = 70, sd = 20)
In [37]:
# Data분포를 모른다고 전제, 밀도함수 구하기 - density()
Ddata <- density(data)
In [38]:
Ddata
In [39]:
plot(Ddata)
In [40]:
# ggplot() - density() 필요없음
library('ggplot2')
library('ggthemes')
In [41]:
data <- rnorm(300, mean = 70, sd = 20)
df <- data.frame(data)
In [43]:
ggplot(df, aes(x = data)) +
geom_density(fill = 'skyblue2', colour = 'dodgerblue1', alpha = 0.4) +
xlim(c(-10, 140)) +
theme_wsj()
토익학원 학습법 가설 검정하기¶
- A학원 토익점수 평균 623점, 표준편차 90
- 자신들만의 새로운 학습법을 적용하면 평균 700점이 넘는 다고 주장
- 귀무(영)가설 : 토익점수 평균 623점
- 대립가설 : 평균 700점이상 => 단측 검증
- 신뢰구간 5% ~ 95%
In [44]:
# 신뢰구간의 확률 변수 값 구하기
ci_data <- qnorm(c(0.05, 0.95), mean = 623, sd = 90)
ci_data
In [45]:
# 표본의 데이터 확인
Sample <- read.csv('r-ggagi-data/example_test_statistic_ex1_sample.csv')
In [46]:
head(Sample)
In [47]:
# 모집단의 신뢰구간과 표본의 평균 비교
ci_data #771.036826425632
mean(Sample$point) # 640.4371984145 => 귀무가설 기각되지 않음
국어 선생님 학습법 검증하기¶
- A고등학교 언어영역 평균 82점
- 국어 선생님 새로운 학습법 적용 후 평균이 82점이 아니라고 주장
- 귀무(영)가설 : 언어영역 평균 82점
- 대립가설 : 언어영역 평균 82점이 아니다 => 양측 검증
- 신뢰구간 2.5% ~ 97.5%
In [48]:
# 모집단 불러오기
Population <- read.csv('r-ggagi-data/example_test_statistic_ex2_population.csv')
head(Population)
In [50]:
# 평균, 표준편차
mean(Population$point)
sd(Population$point)
In [51]:
ci_data <- qnorm(c(0.025, 0.975), mean = mean(Population$point), sd = sd(Population$point))
ci_data
In [52]:
# 표본 적재
Sample <- read.csv('r-ggagi-data/example_test_statistic_ex2_sample.csv')
head(Sample)
In [53]:
# 가설 검증
ci_data # 64.0040784805209 | 79.9659215194791
mean(Sample$point) # 80.845 => 귀무가설 기각하고 대립가설을 채택 But 실제는 타당성 조사 필요
In [ ]: